ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 247: Неравенство треугольника

План доказательства:

1. Введём обозначения для углов треугольника и внешнего угла. 2. Используем свойство параллельных прямых (биссектриса внешнего угла параллельна стороне). 3. Свяжем полученные равные углы с внутренними углами треугольника. 4. Докажем равенство двух внутренних углов, что влечёт равнобедренность треугольника.

Ход решения:

Пусть дан треугольник ABC. Рассмотрим внешний угол при вершине A. Обозначим его как β_ext. Пусть AD — биссектриса этого внешнего угла, причём по условию AD
parallelBC.

Так как AD является биссектрисой внешнего угла при вершине A, то она делит этот угол пополам. Обозначим величину половины внешнего угла через x. Тогда весь внешний угол равен 2x.

Рассмотрим секущую AB, пересекающую параллельные прямые AD и BC. Угол между биссектрисой AD и стороной AB является накрест лежащим с углом B треугольника ABC (если рассматривать соответствующее расположение) или односторонним, но более удобно использовать свойства смежных и вертикальных углов вместе с параллельностью.

Более строгий путь: Пусть внешний угол при вершине A образован продолжением стороны BA за точку A (обозначим луч AE). Тогда внешний угол — это
angleEAC. Биссектриса AD делит
angleEAC пополам, значит
angleEAD=
angleDAC=x.

По условию AD
parallelBC. Рассмотрим секущую AC. Тогда накрест лежащие углы равны:
angleDAC=
angleACB. Следовательно,
angleC=x.

Теперь рассмотрим секущую AB (продолжение которой составляет сторону внешнего угла). Углы
angleEAD и
angleABC являются соответственными при параллельных прямых AD и BC и секущей EB. Значит,
angleEAD=
angleABC. Следовательно,
angleB=x.

Мы получили, что
angleB=x и
angleC=x. Таким образом,
angleB=
angleC.

Вывод:

Если два угла треугольника равны, то треугольник является равнобедренным. Так как мы доказали равенство углов при основании BC (
angleB=
angleC), то стороны AB и AC равны. Следовательно, треугольник ABC равнобедренный.