ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 248: Неравенство треугольника

План решения.

Нам нужно доказать равенство отрезков AC и AD. Для этого достаточно показать, что треугольник ACD является равнобедренным с основанием CD, то есть углы при основании равны: ∠ACD=∠ADC. Будем использовать свойства параллельных прямых и определение биссектрисы угла.

Ход доказательства.

1. Рассмотрим угол ∠BAC. По условию AA₁ — биссектриса этого угла. Следовательно, она делит угол пополам: ∠BAA₁=∠CAA₁ Обозначим эти углы через α. Тогда ∠BAA₁=α и ∠CAA₁=α.
2. По условию прямая CD параллельна прямой AA₁ (CD∥AA₁). Рассмотрим секущую AC, пересекающую эти параллельные прямые. Углы ∠ACD и ∠CAA₁ являются накрест лежащими. По свойству параллельных прямых они равны: ∠ACD=∠CAA₁=α
3. Теперь рассмотрим секущую AB (или её продолжение), которая также пересекает параллельные прямые CD и AA₁. Угол ∠ADC (он же ∠CDA) и угол ∠BAA₁ являются соответственными углами (если точка D лежит на луче AB за точкой A или наоборот, важно лишь взаимное расположение). Более строго: так как CD∥AA₁, то угол ∠ADC равен углу ∠DAA₁ (внутреннийalternate/соответственный в зависимости от чертежа, но геометрически ∠ADC соответствует ∠BAA₁ при условии, что D лежит на прямой AB). Давайте уточним расположение. Прямая CD проходит через C параллельно AA₁. Она пересекает прямую AB в точке D. Углы ∠ADC и ∠BAA₁ — это соответственные углы при параллельных прямых CD и AA₁ и секущей AB. Значит: ∠ADC=∠BAA₁=α
4. Сопоставим полученные результаты. Мы нашли, что: ∠ACD=α ∠ADC=α Следовательно, ∠ACD=∠ADC.

Вывод и проверка.

В треугольнике ACD два угла при основании CD равны между собой. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла треугольника равны, то он равнобедренный, и стороны, лежащие против этих углов, равны. Сторона AC лежит против угла ∠ADC, а сторона AD лежит против угла ∠ACD. Поскольку углы равны, то и стороны равны: AC=AD Что и требовалось доказать.