ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 244: Неравенство треугольника

План доказательства.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть из вершины A проведены медиана AM и высота AH. Нам нужно сравнить длины отрезков AM и AH. Для этого воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника, образованного высотой, или общим неравенством «наклонная больше перпендикуляра».

Ход решения.

1. По определению высоты, отрезок AH перпендикулярен прямой BC, то есть AH⊥BC. Следовательно, угол ∠AHB=90^° (или ∠AHC=90^°, в зависимости от положения точки H).

2. Точка M — середина стороны BC, значит, она лежит на прямой BC. Отрезок AM соединяет точку A с точкой M на прямой BC. Таким образом, AM является наклонной к прямой BC, проведенной из точки A.

3. Рассмотрим треугольник AHM (если H и M не совпадают). Так как AH⊥HM, то треугольник AHM является прямоугольным с гипотенузой AM и катетом AH.

4. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее каждого из катетов. Поэтому:

5. Если точка H совпадает с точкой M (что возможно только в равнобедренном треугольнике, где медиана, проведенная к основанию, является также высотой), то:

Вывод.

Объединяя два случая, получаем, что длина медианы либо строго больше длины высоты, либо равна ей. Иными словами, медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины:

Что и требовалось доказать.