ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 246: Неравенство треугольника

План доказательства.

Чтобы доказать, что треугольник AMN равнобедренный, нам нужно показать равенство его углов при основании или равенство боковых сторон. Так как дано условие о параллельности прямых и исходном равнобедренном треугольнике ABC, наиболее удобным путем будет использование свойств параллельных прямых и соответственных углов. Мы установим связь между углами треугольника ABC и углами треугольника AMN.

Ход решения.

1. По условию задачи треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. Это означает, что его боковые стороны равны (AB=AC), а следовательно, углы при основании также равны:

2. Прямая MN параллельна основанию BC (MN∥BC) и пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Рассмотрим секущую AB, которая пересекает параллельные прямые MN и BC. Углы ∠AMN и ∠ABC являются соответственными. Согласно свойству параллельных прямых, соответственные углы равны:

3. Аналогично рассмотрим секущую AC, пересекающую параллельные прямые MN и BC. Углы ∠ANM и ∠ACB также являются соответственными, поэтому они равны:

4. Из пунктов 1, 2 и 3 следует цепочка равенств:

Таким образом, мы получили, что в треугольнике AMN углы при основании MN равны: ∠AMN=∠ANM.

Вывод.

Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник является равнобедренным (по признаку равнобедренного треугольника). Следовательно, треугольник AMN — равнобедренный, что и требовалось доказать.