ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 250: Неравенство треугольника

План решения.

Для доказательства равенства MN=BM+CN воспользуемся свойствами параллельных прямых и биссектрис. Обозначим точку пересечения биссектрис BB₁ и CC₁ как O. Прямая MN проходит через точку O и параллельна стороне BC. Нам нужно доказать, что отрезок MO равен отрезку BM, а отрезок ON равен отрезку CN. Тогда сумма MO+ON даст нам длину всего отрезка MN, которая будет равна сумме BM+CN.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим треугольник MBO. Так как BB₁ является биссектрисой угла ABC, то по определению биссектрисы имеем:

По условию задачи прямая MN параллельна прямой BC (MN∥BC). Рассмотрим секущую BB₁. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, следовательно:

Из двух предыдущих равенств следует, что:

Треугольник MBO имеет два равных угла, значит, он является равнобедренным с основанием BO. Следовательно, боковые стороны этого треугольника равны:

Теперь аналогично рассмотрим треугольник NCO. Так как CC₁ является биссектрисой угла ACB, то:

Так как MN∥BC и CC₁ — секущая, то внутренние накрест лежащие углы равны:

Отсюда получаем равенство углов в треугольнике NCO:

Значит, треугольник NCO также является равнобедренным с основанием CO, и его боковые стороны равны:

Точка O лежит на отрезке MN, поэтому длина отрезка MN равна сумме длин отрезков MO и ON:

Подставив значения из равенств (1) и (2), получаем:

Что и требовалось доказать.

Проверка.

Логика доказательства опирается на фундаментальные свойства геометрии: определение биссектрисы, признак параллельности прямых (равенство накрест лежащих углов) и признак равнобедренного треугольника (если два угла равны, то против них лежат равные стороны). Все шаги выполнены последовательно, без использования дополнительных предположений о форме треугольника ABC. Равенство справедливо для любого треугольника, где проведены указанные построения.