ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 255: Теорема Пифагора

План решения.

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. В условии даны длины двух сторон: одна из них является боковой стороной (так как в равнобедренном треугольнике есть две равные стороны), а другая — основанием или второй боковой стороной. Однако формулировка «две другие стороны равны» здесь означает, что нам даны значения для боковых сторон и основания, но нужно определить, какая из них какая, исходя из свойства равнобедренного треугольника: у него две стороны равны между собой. Давайте внимательно прочитаем условие: «Найти длину третьей стороны (основания) равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны...». Это стандартная задача на определение того, какие стороны являются боковыми, а какая — основанием, с учетом неравенства треугольника. В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Пусть эти равные стороны имеют длину a, а третья сторона (основание) имеет длину b. В условии нам даны два числа. Одно из них — это длина боковой стороны a (так как их две, они равны), а другое — это длина основания b? Нет, условие говорит: «если две другие стороны равны [значениям]». Обычно в таких задачах подразумевается, что даны длины всех известных сторон, но так как треугольник равнобедренный, то две стороны равны. Перечитаем строго: «Найти длину третьей стороны (основания)... если две другие стороны равны: а) 7 см и 3 см». Фраза «две другие стороны равны» грамматически некорректна для математического контекста без уточнения. Скорее всего, имеется в виду: «Даны две стороны треугольника со значениями 7 см и 3 см. Треугольник равнобедренный. Найти третью сторону (основание)». Если треугольник равнобедренный, то две его стороны равны. У нас есть две известные стороны: 7 см и 3 см. Третья сторона должна быть равна либо 7 см, либо 3 см. 1. Если третья сторона равна 3 см, то стороны будут 3, 3, 7. Проверим неравенство треугольника: сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей. 3+3=6, а 6<7. Такой треугольник не существует. 2. Если третья сторона равна 7 см, то стороны будут 7, 7, 3. Проверим неравенство: 7+3>7 (10>7) и 7+7>3 (14>3). Такой треугольник существует. Таким образом, боковые стороны равны 7 см, а основание — 3 см. Но в вопросе спрашивается: «Найти длину третьей стороны (основания)». Если мы определили, что равные стороны (боковые) — это те, которые позволяют построить треугольник, то нам нужно понять, какая сторона является основанием. В пункте а) даны стороны 7 и 3. Равнобедренный треугольник может иметь стороны (7, 7, 3) или (3, 3, 7). Вариант (3, 3, 7) невозможен. Значит, треугольник имеет стороны 7, 7 и 3. Боковые стороны равны 7 см. Основание равно 3 см. Вопрос: «Найти длину третьей стороны (основания)». Если даны две стороны 7 и 3, и треугольник равнобедренный, то третья сторона либо 7, либо 3. Мы выяснили, что третья сторона должна быть 7, чтобы существовал треугольник (стороны 7, 7, 3). Тогда основанием является сторона 3 см. Или же вопрос подразумевает, что даны боковая сторона и основание? Нет, «две другие стороны равны [числам]» обычно означает набор данных. Давайте посмотрим на ключ: а) 7 см. Это противоречит моему выводу выше, если считать, что основание — это уникальная сторона. Если ответ 7 см, значит, основанием считается сторона 7 см? Тогда боковые стороны должны быть равны друг другу. Если основание 7, то боковые стороны должны быть равны. Даны стороны 7 и 3. Если одна из данных сторон — основание (7), то две другие (одна данная 3 и одна неизвестная) должны быть равны боковым? Нет, в равнобедренном треугольнике две стороны равны. Если основание 7, то боковые стороны равны между собой. Одна из данных сторон 3. Значит, вторая боковая тоже 3. Стороны: 3, 3, 7. Невозможно. Значит, ключ «а) 7 см» предполагает, что искомая сторона (которую называют основанием в вопросе, возможно, ошибочно или специфически) равна 7. Давайте пересмотрим условие. Возможно, «две другие стороны равны» означает, что даны две равные стороны? Нет, там написано «7 см и 3 см», они не равны. Стандартная трактовка задачи №255 по геометрии (Атанасян и др.): «Найти длину третьей стороны равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны...». Здесь слово «равны» относится к тому, что треугольник равнобедренный, т.е. две стороны равны между собой. Нам даны две стороны с разными длинами. Значит, одна из них — боковая, другая — основание. Третья сторона должна быть равна одной из этих двух. Случай а): Стороны 7 и 3. Вариант 1: Боковые стороны 7, основание 3. Третья сторона (вторая боковая) = 7. Треугольник 7-7-3. Существует. Вариант 2: Боковые стороны 3, основание 7. Третья сторона (вторая боковая) = 3. Треугольник 3-3-7. Не существует. Итак, единственно возможный треугольник имеет стороны 7, 7, 3. В нем боковые стороны равны 7, основание равно 3. Вопрос: «Найти длину третьей стороны (основания)». Если под «третьей стороной» понимается та, которую мы не знаем изначально, то она равна 7. Но в скобках указано «(основания)». Это создает путаницу. Если искомая сторона названа основанием, то ответ должен быть 3. Но ключ дает 7. Вероятно, в условии учебника опечатка или нестандартная формулировка, где «основанием» называют любую из сторон, не являющуюся парой равных? Нет, основание — это неравная сторона. Давайте посмотрим на пункт б): 8 см и 2 см. Ключ: 8 см. Треугольник 8-8-2 (существует) или 2-2-8 (не существует). Искомая третья сторона 8. Ответ 8 совпадает с длиной боковой стороны. Пункт в): 10 см и 5 см. Ключ: 10 см. Треугольник 10-10-5 (существует) или 5-5-10 (вырожденный/не существует, так как 5+5=10). Искомая третья сторона 10. Ответ 10. Вывод: В задаче требуется найти длину третьей стороны . Слово «(основания)» в скобках, вероятно, является ошибочным указанием или относится к другому варианту прочтения, где дано основание и боковая, но тогда ответ был бы другим. Судя по ключам, во всех случаях искомая сторона равна большей из данных сторон. Это логично, так как меньшая сторона не может быть боковой при большем основании (нарушение неравенства треугольника). Поэтому решение строится так: 1. Определяем возможные варианты для третьей стороны. 2. Проверяем неравенство треугольника. 3. Выбираем допустимый вариант. 4. Указываем найденную длину. Решение пункта а) Даны две стороны: 7 см и 3 см. Так как треугольник равнобедренный, третья сторона должна быть равна либо 7 см, либо 3 см. Если третья сторона равна 3 см, то стороны треугольника: 3 см, 3 см, 7 см. Проверим неравенство треугольника: сумма двух меньших сторон 3+3=6 см. Так как 6<7, такой треугольник не существует. Если третья сторона равна 7 см, то стороны треугольника: 7 см, 7 см, 3 см. Проверим неравенство: 7+3>7 (10>7) и 7+7>3 (14>3). Такой треугольник существует. Следовательно, длина третьей стороны равна 7 см. Решение пункта б) Даны две стороны: 8 см и 2 см. Третья сторона равна либо 8 см, либо 2 см. Если третья сторона равна 2 см, стороны: 2 см, 2 см, 8 см. Сумма меньших: 2+2=4 см. 4<8, треугольник не существует. Если третья сторона равна 8 см, стороны: 8 см, 8 см, 2 см. Сумма меньших: 8+2=10 см. 10>8, треугольник существует. Следовательно, длина третьей стороны равна 8 см. Решение пункта в) Даны две стороны: 10 см и 5 см. Третья сторона равна либо 10 см, либо 5 см. Если третья сторона равна 5 см, стороны: 5 см, 5 см, 10 см. Сумма меньших: 5+5=10 см. Так как сумма равна третьей стороне, треугольник вырождается в отрезок, то есть полноценного треугольника не получается. Если третья сторона равна 10 см, стороны: 10 см, 10 см, 5 см. Сумма меньших: 10+5=15 см. 15>10, треугольник существует. Следовательно, длина третьей стороны равна 10 см.