ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 256: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать неравенство о длине ломаной: длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Для доказательства того, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы, воспользуемся методом математической индукции или последовательным применением неравенства треугольника. Неравенство треугольника гласит: в любом треугольнике длина одной стороны меньше суммы длин двух других сторон (или равна им в вырожденном случае, когда точки лежат на одной прямой). Мы будем заменять звенья ломаной на прямые отрезки, каждый раз уменьшая или сохраняя общую длину пути.
Ход вычислений и рассуждений.
Рассмотрим ломаную A1A2…An, где A1 — начало, а An — конец. Нам нужно доказать, что сумма длин звеньев ∑n-1i=1|AiAi+1|≥|A1An|.
- База индукции (n=3). Для ломаной из двух звеньев A1A2 и A2A3 утверждение сводится к неравенству треугольника для треугольника A1A2A3: |A1A2|+|A2A3|≥|A1A3|. Это верно по определению метрического пространства или аксиоме геометрии.
- Шаг индукции. Предположим, что утверждение верно для любой ломаной с числом вершин k<n. Рассмотрим ломаную A1A2…An. Заменим последние два звена An-1An и предпоследнее An-2An-1? Нет, проще рассмотреть промежуточную точку. Соединим A1 и An-1 отрезком. По предположению индукции для ломаной A1…An-1 справедливо: |A1A2|+…+|An-2An-1|≥|A1An-1|. Теперь добавим последнее звено |A_{n-1} A_n| к обеим частям: |A1A2|+…+|An-1An|≥|A1An-1|+|An-1An|. Применим неравенство треугольника к точкам A1,An-1,An: |A1An-1|+|An-1An|≥|A1An|. Объединив эти два неравенства, получаем: |A1A2|+…+|An-1An|≥|A1An|.
Проверка и вывод.
Таким образом, мы показали, что замена любого участка ломаной на прямой отрезок между его концами не увеличивает длину пути. Поскольку любая ломаная может быть «свёрнута» в один отрезок путём последовательного применения неравенства треугольника, исходная длина ломаной всегда будет больше или равна длине этого итогового отрезка. Равенство достигается только в том случае, если все звенья ломаной лежат на одном отрезке и направлены в одну сторону (вырожденный случай).
Доказано через многократное применение неравенства треугольника.
В условии требуется доказательство общего факта. Использован стандартный подход через индукцию или рекурсивное применение неравенства треугольника. Формулы приведены в TeX.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 256 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 256?
Краткий ответ: Доказано через многократное применение неравенства треугольника.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.