ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 258: Теорема Пифагора
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух его сторон равна 4 см, а один из внешних углов является острым. Найти все стороны треугольника.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи обозначим стороны равнобедренного треугольника. Пусть боковая сторона равна a, а основание — b. По условию периметр равен 25 см, то есть:
2a+b=25
Также известно, что разность двух сторон равна 4 см. В равнобедренном треугольнике возможны два случая соотношения между боковой стороной и основанием: либо боковая сторона больше основания (a-b=4), либо основание больше боковой стороны (b-a=4). Рассмотрим оба варианта.
Случай 1: Боковая сторона больше основания. Составим систему уравнений: {2a+b=25a-b=4 Выразим b из второго уравнения: b=a-4. Подставим это выражение в первое уравнение: 2a+(a-4)=25 3a-4=25 3a=29 a=29/3≈9,67 см Тогда основание: b=29/3-4=29-12/3=17/3≈5,67 см Проверим условие про внешний угол. Внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух внутренних углов при основании. Если внешний угол острый, то сумма углов при основании меньше 90°, значит, каждый из них меньше 45°. Тогда угол при вершине должен быть больше 90° (так как сумма углов треугольника 180°). Это означает, что треугольник тупоугольный с тупым углом при вершине. В тупоугольном треугольнике против тупого угла лежит наибольшая сторона. Здесь наибольшая сторона — боковая a≈9,67, а основание b≈5,67. Но если угол при вершине тупой, то он противолежит основанию b. Значит, основание должно быть самой длинной стороной. Однако в этом случае a>b, что противоречит тому, что тупой угол при вершине (противолежащий основанию) требует b>a. Следовательно, этот случай не подходит под геометрические ограничения или требует более строгой проверки через косинусы, но обычно в школьных задачах такие дробные ответы отбрасываются, если есть целый вариант. Давайте проверим второй случай, который часто является «правильным» в таких задачах.
Случай 2: Основание больше боковой стороны. Составим систему уравнений: {2a+b=25b-a=4 Выразим b из второго уравнения: b=a+4. Подставим в первое: 2a+(a+4)=25 3a+4=25 3a=21 a=7 см Тогда основание: b=7+4=11 см Стороны треугольника: 7 см, 7 см, 11 см. Проверим неравенство треугольника: 7+7>11 (14>11) — верно. Теперь проверим условие про внешний угол. У нас стороны 7, 7, 11. Наибольший угол лежит против наибольшей стороны (основания 11). Обозначим угол при вершине β, а углы при основании β1,β2. Так как 112=121, а 72+72=49+49=98, то 112>72+72. Значит, угол при вершине β тупой (β>90°). Внешний угол при вершине равен 180°-β. Так как β>90°, то внешний угол при вершине < 90°, то есть он острый. Это полностью удовлетворяет условию задачи («один из внешних углов является острым»). Обычно, когда говорят об «одном из внешних углов», имеют в виду специфическое свойство данного треугольника. В остроугольном треугольнике все внешние углы тупые. В прямоугольном — один прямой, два тупых. В тупоугольном — один острый (при тупом внутреннем угле) и два тупых. Наш треугольник тупоугольный, значит, у него действительно есть ровно один острый внешний угол.
Ответ: Стороны треугольника равны 7 см, 7 см и 11 см.
7 см, 7 см, 11 см
Задача сводится к решению системы линейных уравнений для двух возможных случаев соотношения сторон. Ключевой момент — проверка условия про острый внешний угол. Острый внешний угол существует только в тупоугольном треугольнике (внешний угол при тупом внутреннем угле будет острым). Проверка по теореме косинусов или сравнению квадратов сторон подтверждает, что треугольник со сторонами 7, 7, 11 является тупоугольным, так как 112>72+72. Первый случай с дробными числами также может быть проверен, но он дает менее «красивый» ответ, и обычно в таких задачах подразумевается целочисленное решение, которое проходит проверку на тип треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 258 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 258?
Краткий ответ: 7 см, 7 см, 11 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 3. Теорема Пифагора.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.