ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 249: Неравенство треугольника

План доказательства:

Чтобы доказать, что треугольник ADE равнобедренный, нам нужно показать равенство двух его углов или двух сторон. Мы знаем, что AD — биссектриса угла A, а прямая DE параллельна стороне AC. Используя свойства параллельных прямых и секущей, мы можем связать углы при основании предполагаемого равнобедренного треугольника.

Ход решения:

1. Так как отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC, то по определению биссектрисы она делит угол BAC на два равных угла: ∠BAD=∠DAC
2. По условию задачи прямая DE параллельна стороне AC (DE∥AC). Рассмотрим секущую AD, которая пересекает эти параллельные прямые. Углы ∠EDA и ∠DAC являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых они равны: ∠EDA=∠DAC
3. Теперь сравним полученные равенства. Из пункта 1 имеем ∠BAD=∠DAC, а из пункта 2 — ∠EDA=∠DAC. Следовательно, углы ∠BAD (он же ∠EAD) и ∠EDA равны между собой: ∠EAD=∠EDA
4. В треугольнике ADE равны два угла: ∠EAD и ∠EDA. По признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. При этом боковыми сторонами будут стороны, лежащие против этих равных углов, то есть AE=ED.

Проверка:

Логическая цепочка верна: биссектриса дает равенство углов при вершине A, параллельность переносит один из этих углов к основанию DE, создавая равенство углов при основании треугольника ADE. Это классическое построение для получения равнобедренного треугольника внутри произвольного.