ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 476: Признаки параллелограмма

Для решения задачи вспомним основные свойства параллелограмма ABCD:

• Противолежащие углы равны: ∠A=∠C, ∠B=∠D.
• Сумма смежных углов равна 180^°: ∠A+∠B=180^°.
• Сумма всех углов равна 360^°.

Рассмотрим каждый пункт отдельно.

а) Дано: ∠A=84^°.

Так как противолежащие углы равны, то ∠C=∠A=84^°.
Смежные углы в сумме дают 180^°, поэтому:
∠B=180^°-∠A=180^°-84^°=96^°.
Аналогично, ∠D=∠B=96^°.

б) Дано: ∠A-∠B=55^°.

Имеем систему уравнений:
1) ∠A-∠B=55^°
2) ∠A+∠B=180^° (свойство смежных углов)

Сложим эти два уравнения:
(∠A-∠B)+(∠A+∠B)=55^°+180^°
2∠A=235^°
∠A=117.5^°=117^°30′.
Тогда ∠C=∠A=117^°30′.
Найдем ∠B:
∠B=180^°-117^°30′=62^°30′.
Тогда ∠D=∠B=62^°30′.

в) Дано: ∠A+∠C=142^°.

Так как ∠A=∠C, подставим это в условие:
∠A+∠A=142^°
2∠A=142^°
∠A=71^°.
Значит, ∠C=71^°.
Найдем смежный угол ∠B:
∠B=180^°-∠A=180^°-71^°=109^°.
Значит, ∠D=109^°.

г) Дано: ∠A=2∠B.

Используем свойство суммы смежных углов:
∠A+∠B=180^°.
Подставим выражение для ∠A:
2∠B+∠B=180^°
3∠B=180^°
∠B=60^°.
Тогда ∠D=∠B=60^°.
Найдем ∠A:
∠A=2·60^°=120^°.
Значит, ∠C=∠A=120^°.

д) Дано: ∠CAD=16^°, ∠ACD=37^°.

Рассмотрим треугольник ACD. Сумма углов треугольника равна 180^°. Найдем угол ∠ADC (который является углом ∠D параллелограмма):
∠D=180^°-(∠CAD+∠ACD)=180^°-(16^°+37^°)=180^°-53^°=127^°.
Так как ∠B=∠D, то ∠B=127^°.
Угол ∠A параллелограмма состоит из двух частей: ∠A=∠CAD+∠CAB. Нам неизвестен ∠CAB напрямую, но мы знаем, что ∠A+∠D=180^° (смежные углы).
∠A=180^°-∠D=180^°-127^°=53^°.
Проверка через диагональ: так как AD∥BC, то накрест лежащие углы при секущей AC равны: ∠ACB=∠CAD=16^°. Так как AB∥CD, то ∠CAB=∠ACD=37^°. Тогда весь угол ∠A=16^°+37^°=53^°. Это совпадает с предыдущим расчетом.
Значит, ∠C=∠A=53^°.