ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 479: Признаки параллелограмма

План решения.

Чтобы доказать, что четырёхугольник BMDK является параллелограммом, воспользуемся признаком: если у четырёхугольника одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то это параллелограмм. Нам нужно рассмотреть стороны BK и DM. Во-первых, они обе перпендикулярны прямой AC, значит, параллельны друг другу. Во-вторых, нам необходимо доказать их равенство (BK=DM). Для этого сравним треугольники △ABK и △CDM (или △ADK и △CBM, в зависимости от расположения точек, но удобнее использовать свойства диагоналей или симметрии).

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. По определению параллелограмма его противоположные стороны равны и параллельны: AB=CD и AB¶llelCD.

Так как AB¶llelCD, а прямая AC является секущей для этих параллельных прямых, то накрест лежащие углы при этой секущей равны. Обозначим угол
angleBAC=
alpha. Тогда угол
angleDCA=
alpha (так как AB¶llelCD).

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники △ABK и △CDM:

• 
  angleAKB=90
  circ и
  angleCMD=90
  circ по условию задачи (BK&perpAC, DM&perpAC);
• гипотенузы AB и CD равны, так как это противоположные стороны параллелограмма;
• острый угол
  angleBAK (он же
  angleBAC) равен острому углу
  angleDCM (он же
  angleDCA), так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Следовательно, прямоугольные треугольники △ABK и △CDM равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: BK=DM.

Также из условия известно, что BK&perpAC и DM&perpAC. Две прямые, перпендикулярные одной и той же третьей прямой, параллельны между собой. Значит, BK¶llelDM.

Мы получили, что в четырёхугольнике BMDK сторона BK параллельна стороне DM (BK¶llelDM) и равна ей (BK=DM). Согласно первому признаку параллелограмма, четырёхугольник BMDK — параллелограмм.

Проверка.

Логика доказательства опирается на фундаментальные свойства параллелограмма (равенство противоположных сторон и параллельность) и признак равенства прямоугольных треугольников. Условие AB&neqBC гарантирует, что параллелограмм не является ромбом, где высота могла бы совпадать с диагональю или иметь особую симметрию, усложняющую рассуждения, но для общего случая параллелограмма наше доказательство верно. Угол A острый обеспечивает стандартное расположение проекций вершин на диагональ внутри отрезка или вне его, но не меняет факта равенства треугольников. Таким образом, утверждение доказано.