ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 482: Признаки параллелограмма
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Требуется доказать, что четырехугольник A_1B_1C_1D_1, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, является параллелограммом.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Нам дан параллелограмм ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. По свойству диагоналей параллелограмма они точкой пересечения делятся пополам. Значит, AO=OC и BO=OD. Нам нужно доказать, что четырехугольник A1B1C1D1, построенный на серединах отрезков OA,OB,OC,OD, также является параллелограммом. Для этого воспользуемся третьим признаком параллелограмма: если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Вычисление и доказательство.
Рассмотрим диагонали нового четырехугольника A1B1C1D1. Это отрезки A1C1 и B1D1. Так как точки A1 и C1 лежат на прямой AC (диагонали исходного параллелограмма), а точки B1 и D1 лежат на прямой BD, то диагонали A1C1 и B1D1 пересекаются в той же точке O, где пересекались диагонали ABCD.
Проверим, делит ли точка O эти новые диагонали пополам. По условию, A1 — середина OA, значит, OA1=1/2OA. Аналогично, C1 — середина OC, значит, OC1=1/2OC. Так как в исходном параллелограмме OA=OC, то и их половины равны: OA1=OC1. Следовательно, точка O является серединой диагонали A1C1.
Теперь рассмотрим вторую пару. B1 — середина OB, значит, OB1=1/2OB. D1 — середина OD, значит, OD1=1/2OD. Так как в исходном параллелограмме OB=OD, то OB1=OD1. Следовательно, точка O является серединой диагонали B1D1.
Проверка и вывод.
Мы получили, что в четырехугольнике A1B1C1D1 диагонали A1C1 и B1D1 пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам (OA1=OC1 и OB1=OD1).
Согласно третьему признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом. Что и требовалось доказать.
Доказано через 3-й признак параллелограмма: диагонали A_1C_1 и B_1D_1 пересекаются в точке O и делятся ею пополам.
В решении использовано свойство диагоналей параллелограмма ABCD (делятся пополам) и определение середин отрезков. Ключевым моментом является то, что диагонали внутреннего четырехугольника лежат на тех же прямых, что и диагонали внешнего, поэтому точка пересечения сохраняется.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 482 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 482?
Краткий ответ: Доказано через 3-й признак параллелограмма: диагонали A_1C_1 и B_1D_1 пересекаются в точке O и делятся ею пополам.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 49. Признаки параллелограмма.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.