ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 481: Признаки параллелограмма

План решения.

Для доказательства параллельности отрезков AB и O₁O₂ или их коллинеарности рассмотрим четырёхугольник AO₁O₂B. Нам известно, что радиусы колёс равны (O₁A=O₂B) и длина стержня равна расстоянию между центрами (AB=O₁O₂). Если мы докажем, что этот четырёхугольник является параллелограммом (или вырожденным случаем), то по свойствам параллелограмма противоположные стороны будут параллельны. Однако нужно учесть возможность того, что точки лежат на одной прямой.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим четырёхугольник с вершинами A, O₁, O₂, B. По условию задачи:

• O₁A=O₂B (радиусы одинаковых колёс);
• AB=O₁O₂ (длина стержня равна расстоянию между центрами).

Вспомним признак параллелограмма: если две противоположные стороны четырёхугольника равны, то он не обязательно является параллелограммом . Но здесь у нас равны все пары противоположных сторон? Нет, давайте посмотрим внимательнее. У нас есть стороны O₁A и O₂B, которые являются боковыми сторонами «рамки», и стороны AB и O₁O₂, которые являются основаниями.

На самом деле, более простой путь — рассмотреть треугольники или использовать векторный подход, но в рамках геометрии 7-9 класса удобнее опираться на признаки параллелограмма. Давайте перестроим логику. Рассмотрим четырёхугольник AO₁BO₂? Нет, порядок вершин важен. Пусть вершины идут в порядке A,B,O_2,O₁. Тогда стороны AB и O₁O₂ — это одна пара противоположных сторон, а BO₂ и O₁A — другая пара.

По условию AB=O₁O₂ и O₁A=O₂B (так как O₂B — это радиус второго колеса, равный первому). Таким образом, в четырёхугольнике ABO₂O₁ противоположные стороны попарно равны:

Согласно третьему признаку параллелограмма (если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом), фигура ABO₂O₁ является параллелограммом.

Из определения параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны. Следовательно, AB∥O₁O₂.

Проверка и частный случай.

Что если точки A,O_1,O_2,B лежат на одной прямой? В этом случае четырёхугольник «вырождается» в отрезок. При таком расположении отрезки AB и O₁O₂ всё ещё находятся на одной прямой, что удовлетворяет условию «либо параллельны, либо лежат на одной прямой». Поскольку в реальной конструкции тепловоза колёса обычно расположены так, что оси горизонтальны, а шатуны могут быть направлены под углом, общий случай — это параллелограмм. Если же шатун расположен строго горизонтально относительно осей (что невозможно при вращении, кроме мгновенных положений), то они лежат на одной прямой. Доказательство через признак параллелограмма покрывает оба случая: если фигуры не вырождены, они параллельны; если вырождены, они коллинеарны.