ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 485: Признаки параллелограмма

План доказательства:

Чтобы доказать, что отрезок MN является средней линией треугольника ABC, нам необходимо убедиться в двух фактах: во-первых, точка N должна быть серединой стороны AC; во-вторых, длина отрезка MN должна быть равна половине длины стороны BC. По условию задачи уже известно, что M — середина AB и MN∥BC. Следовательно, ключевым шагом будет доказательство того, что AN=NC.

Ход решения:

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем через вершину C прямую, параллельную стороне AB, и обозначим точку пересечения этой прямой с продолжением отрезка MN как K. Таким образом, мы получили четырехугольник MBCK (или его часть), но более удобно рассмотреть треугольники AMN и CKN.

Так как по построению CK∥AB, то углы ∠MAN и ∠KCN равны как накрест лежащие при секущей AC. Также углы ∠AMN и ∠CKN равны как накрест лежащие при секущей MK (так как MN∥BC не используется напрямую для этих углов, лучше использовать вертикальные или свойства параллельных). Давайте воспользуемся более стандартным методом — теоремой Фалеса или подобием треугольников.

Воспользуемся признаком равенства треугольников. Проведем через точку B прямую, параллельную AC, которая пересекает прямую MN в точке D. Тогда четырехугольник DBNC является параллелограммом? Нет, это усложняет задачу. Вернемся к классическому доказательству через подобие или теорему о пропорциональных отрезках.

Так как MN∥BC, то по теореме о параллельных прямых, отсекающих пропорциональные отрезки на сторонах угла (частный случай теоремы Фалеса), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника (M — середина AB) и параллельна второй стороне (BC), то она пересекает третью сторону (AC) в ее середине. Докажем это строго.

Проведем через точку C прямую, параллельную AB, и пусть она пересекает прямую MN в точке P. Рассмотрим треугольники △AMN и △CPN. У них: ∠MAN=∠PCN (накрест лежащие при AB∥CP и секущей AC); ∠ANM=∠CNP (вертикальные). Если бы мы знали, что AN=NC, то треугольники были бы равны. Но мы хотим это доказать.

Давайте используем другой подход, опирающийся на признак параллелограмма. Проведем диагональ MC? Нет. Проведем через M прямую параллельную AC, а через N — параллельную AB. Пусть они пересекутся в точке O. Тогда AMON — параллелограмм. Это тоже сложно.

Самый простой путь: использование свойств параллелограмма. Проведем через точку C прямую, параллельную AB, до пересечения с прямой MN в точке K. Так как MK∥BC (по условию MN∥BC, значит вся прямая MK параллельна BC) и CK∥MB (по построению), то четырехугольник MBCK является параллелограммом. Следовательно, противоположные стороны равны: MK=BC и MB=CK.

Теперь рассмотрим треугольники △AMN и △CKN. В них: ∠MAN=∠KCN (накрест лежащие при AB∥CK и секущей AC); ∠AMN=∠CKN (накрест лежащие при AB∥CK и секущей MK); сторона AM=MB (так как M — середина AB), а MB=CK (из параллелограмма MBCK), следовательно, AM=CK. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) △AMN=△CKN.

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: AN=NC и MN=NK. Поскольку AN=NC, точка N является серединой стороны AC. Поскольку MN=NK, то MN=1/2MK. А так как MK=BC (противоположные стороны параллелограмма), то MN=1/2BC.

Проверка и вывод:

Мы доказали, что N — середина AC и MN=1/2BC. По определению, средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон. Так как M — середина AB (дано) и N — середина AC (доказано), то MN действительно является средней линией треугольника ABC. Кроме того, мы подтвердили свойство средней линии: она параллельна третьей стороне и равна её половине.