ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 488: Признаки параллелограмма

План доказательства.

Для доказательства теоремы Фалеса воспользуемся признаками параллелограмма. Пусть на прямой a отложены равные отрезки A₁A₂=A₂A₃=…=A_n-1A_n. Через точки A_1,A_2,…,A_n проведены параллельные прямые, пересекающие вторую прямую b в точках B_1,B_2,…,B_n. Нам нужно доказать, что отрезки на прямой b также равны: B₁B₂=B₂B₃=…=B_n-1B_n. Рассмотрим произвольную пару соседних отрезков, например, A₁A₂ и соответствующий им отрезок B₁B₂, а также следующий за ними отрезок A₂A₃ и его проекцию B₂B₃. Доказательство будем вести для двух последовательных quadrilaterals (четырехугольников), образованных этими отрезками и параллельными прямыми.

Ход вычисления и логический вывод.

1. Рассмотрим четырехугольник A₁A₂B₂B₁. По условию задачи прямые A₁B₁ и A₂B₂ параллельны (A₁B₁∥A₂B₂). Также по построению точки лежат на прямых a и b. Однако, чтобы применить признак параллелограмма, нам нужно рассмотреть вспомогательные линии или использовать свойства трапеций, но классическое доказательство через параллелограммы требует немного иного подхода: проведем через точку B₁ прямую, параллельную прямой a, которая пересечет прямую A₂B₂ в точке C₁. Тогда четырехугольник A₁A₂B₂C₁ является параллелограммом, так как его противоположные стороны попарно параллельны (A₁A₂∥C₁B₂ по построению, A₁C₁∥A₂B₂ — это неверно, давай исправим логику на более стандартную).

Более простой путь через признаки параллелограмма:

Пусть у нас есть три последовательные точки на первой прямой: A_1,A_2,A₃, такие что A₁A₂=A₂A₃. Прямые l_1,l_2,l₃ проходят через эти точки и параллельны друг другу (l₁∥l₂∥l₃). Они пересекают вторую прямую b в точках B_1,B_2,B₃. Рассмотрим четырехугольник A₁A₂B₂B₁. Стороны A₁B₁ и A₂B₂ параллельны по условию. Но мы не знаем, параллельны ли A₁A₂ и B₁B₂. Поэтому напрямую сказать, что это параллелограмм, нельзя. Теорема Фалеса доказывается обычно через подобие треугольников или через проведение дополнительных параллельных линий.

Исправленный план с использованием признаков параллелограмма (как требуется в теме §49):

Проведем через точку B₁ прямую, параллельную прямой a. Пусть она пересечет прямую l₂ (проходящую через A₂) в точке K₁, а прямую l₃ (проходящую через A₃) в точке K₂. 1. Рассмотрим четырехугольник A₁A₂K₁B₁. - Сторона A₁A₂ лежит на прямой a. - Сторона B₁K₁ лежит на проведенной нами прямой, параллельной a. Значит, A₁A₂∥B₁K₁. - Стороны A₁B₁ и A₂K₁ лежат на параллельных прямых l₁ и l₂. Значит, A₁B₁∥A₂K₁. - Так как противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то A₁A₂K₁B₁ — параллелограмм. - Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны: B₁K₁=A₁A₂. 2. Аналогично рассмотрим четырехугольник A₂A₃K₂B₂? Нет, лучше рассмотреть отрезок B₁B₂ и B₂B₃. Вернемся к точкам K₁ и K₂ на прямой, проходящей через B₁ параллельно a. Точка K₁ лежит на l₂, точка K₂ лежит на l₃. Рассмотрим четырехугольник A₂A₃K₂K₁. - A₂A₃ лежит на прямой a. - K₁K₂ лежит на прямой, параллельной a. - A₂K₁ лежит на l₂, A₃K₂ лежит на l₃, значит A₂K₁∥A₃K₂. - Следовательно, A₂A₃K₂K₁ — параллелограмм. - Отсюда K₁K₂=A₂A₃. 3. Теперь сравним отрезки на второй прямой b. Мы получили, что B₁K₁=A₁A₂ и K₁K₂=A₂A₃. По условию теоремы A₁A₂=A₂A₃. Следовательно, B₁K₁=K₁K₂. Осталось связать отрезки B₁K₁ и K₁K₂ с отрезками B₁B₂ и B₂B₃. Рассмотрим треугольники △B₁K₁B₂ и △K₁K₂B₃? Это сложно. Давай используем другой способ, более прямой для темы "Признаки параллелограмма". Обычно теорему Фалеса доказывают через равенство треугольников или подобие. Но если строго следовать теме "Признаки параллелограмма", можно рассмотреть случай, когда вторая прямая параллельна первой. Если a∥b, то A₁A₂B₂B₁ — параллелограмм, тогда B₁B₂=A₁A₂. И так далее. Но в общем случае прямые не параллельны. Корректное доказательство через признаки параллелограмма для общего случая: Проведем через точку A₂ прямую, параллельную прямой b. Пусть она пересечет прямую l₁ в точке M₁, а прямую l₃ в точке M₃. 1. Четырехугольник A₁M₁B₁B₂? - A₁B₁∥M₁B₂ (так как M₁ на l₁, B₂ на l₂... нет, M₁ на l₁, B₁ на l₁. Это одна прямая). Давайте вернемся к первому варианту с дополнительной прямой через B₁, параллельной a. Он был самым надежным. У нас есть прямая m, проходящая через B₁ параллельно a. Она пересекает l₂ в K₁ и l₃ в K₂. Мы доказали, что B₁K₁=A₁A₂ и K₁K₂=A₂A₃. Так как A₁A₂=A₂A₃, то B₁K₁=K₁K₂. Теперь рассмотрим треугольники △B₁K₁B₂ и △K₁K₂B₃? Нет, точки B₂ и B₃ лежат на прямой b, а K_1,K₂ на прямой m. Прямые l₂ и l₃ параллельны. Прямая b их пересекает. Прямая m их пересекает. В треугольнике △B₁B₂K₁? Нет. Посмотрим на четырехугольник B₁B₂K₂K₁? Нет. Рассмотрим треугольник △B₁B₂K₁ и △B₂B₃K₂? Углы при вершинах B₂ и B₃... На самом деле, проще всего заметить, что B₁B₂ и B₂B₃ являются сторонами треугольников, которые можно связать с параллелограммами. Альтернативный, более школьный подход для 8 класса: 1. Проведем через точку B₂ прямую, параллельную прямой a. Пусть она пересечет прямую l₁ в точке P, а прямую l₃ в точке Q. 2. Рассмотрим четырехугольник A₁A₂BP (где B это B₁?). Нет, пусть l₁ проходит через A₁ и B₁. Четырехугольник A₁A₂PB₁: - A₁A₂∥PB₁ (по построению) - A₁B₁∥A₂P (так как обе лежат на параллельных l_1,l₂) - Значит, A₁A₂PB₁ — параллелограмм. Следовательно, PB₁=A₁A₂. 3. Рассмотрим четырехугольник A₂A₃QB₂: - A₂A₃∥QB₂ (по построению) - A₂B₂∥A₃Q (так как обе лежат на параллельных l_2,l₃) - Значит, A₂A₃QB₂ — параллелограмм. Следовательно, QB₂=A₂A₃. 4. Так как по условию A₁A₂=A₂A₃, то PB₁=QB₂. 5. Теперь рассмотрим треугольники △PB₁B₂ и △QB₂B₃? Нет, точки P,B_1,B₂ не образуют такой удобный треугольник. Точки P и B₁ лежат на прямой l₁. Точки Q и B₂ лежат на прямой l₂? Нет, Q на l₃, B₂ на l₂. Давай посмотрим на треугольники △B₁PB₂ и △B₂QB₃. - ∠B₁PB₂=∠B₂QB₃ (соответственные углы при параллельных l₁∥l₃ и секущей PQ? Нет, P на l₁, Q на l₃. Прямая PQ параллельна a. Секущая l₁ и l₃ параллельны. Углы между параллельными прямыми и третьей параллельной равны? Да, они оба равны углу между a и l₁). - ∠PB₁B₂=∠QB₂B₃ (соответственные углы при параллельных l₁∥l₃ и секущей b). - Сторона PB₁=QB₂ (доказано выше). - Значит, △B₁PB₂≅△B₂QB₃ по стороне и двум прилежащим углам. - Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны равны: B₁B₂=B₂B₃. Этот метод использует признаки параллелограмма для получения равенства отрезков PB₁ и QB₂, а затем равенство треугольников. Это соответствует уровню сложности и теме.

Проверка результата.

Мы показали, что для любых трех последовательных точек A_1,A_2,A₃ на первой прямой, соответствующие отрезки B₁B₂ и B₂B₃ на второй прямой равны. Поскольку выбор тройки точек был произвольным, этот результат распространяется на все последовательные отрезки. Таким образом, если A_iA_i+1=A_i+1A_i+2, то B_iB_i+1=B_i+1B_i+2. Теорема Фалеса доказана.