ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 491: Признаки параллелограмма

План решения.

Для доказательства свойств равнобедренной трапеции ABCD (где AD∥BC, AB=CD) будем использовать метод вспомогательных параллельных прямых. Это стандартный приём в геометрии для переноса элементов фигуры и создания более простых фигур (треугольников или параллелограммов), свойства которых нам уже известны.

а) Доказательство равенства углов при основании.

Проведём через вершину C меньшего основания прямую, параллельную боковой стороне AB. Пусть эта прямая пересекает большее основание AD в точке E. Таким образом, по построению CE∥AB.

Рассмотрим четырёхугольник ABCE. Так как BC∥AE (так как BC — часть основания AD) и AB∥CE (по построению), то ABCE является параллелограммом по определению.

Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны: AB=CE.

По условию задачи трапеция равнобедренная, значит, её боковые стороны равны: AB=CD.

Следовательно, CE=CD. Это означает, что треугольник CED является равнобедренным с основанием ED.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому ∠CED=∠CDE (или просто ∠D).

Так как AB∥CE, то соответственные углы при секущей AD равны: ∠A=∠CED.

Используя транзитивность равенства (∠A=∠CED и ∠CED=∠D), получаем:

Аналогично можно доказать равенство углов при другом основании (∠B=∠C), проведя параллельную сторону через вершину B.

б) Доказательство равенства диагоналей.

Вернёмся к той же конструкции или создадим новую. Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания AD в точке F. То есть CF∥BD.

Рассмотрим четырёхугольник BCFD. У нас есть BC∥DF (так как BC лежит на прямой, параллельной AD, а F лежит на продолжении AD) и BD∥CF (по построению). Значит, BCFD — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует равенство противоположных сторон: BD=CF.

Теперь рассмотрим треугольник ACF. Нам нужно доказать, что он равнобедренный, чтобы связать диагональ AC с отрезком CF.

Мы знаем из пункта (а), что углы при основании трапеции равны: ∠ABC=∠DCB? Нет, лучше использовать другой подход через конгруэнтность треугольников или свойства углов.

Давайте воспользуемся свойством углов. В параллелограмме BCFD угол ∠CFD равен углу ∠CBD (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BC∥AD и секущей BD? Нет, CF∥BD, секущая DF. Тогда ∠CFD=∠BDA как соответственные? Нет, CF∥BD, секущая AD. Тогда ∠CFD=∠BDA не верно, так как они лежат по разные стороны. Правильнее: ∠FCA? Давайте проще.

Рассмотрим треугольники ABC и DCB. Они имеют общую сторону BC. По условию AB=CD. Из пункта (а) мы доказали, что ∠ABC=∠DCB (углы при верхнем основании тоже равны, это доказывается аналогично или следует из суммы углов). Следовательно, △ABC=△DCB по первому признаку равенства треугольников (две стороны и夹角 между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BD.

Примечание: Ключ предлагает способ через параллельную диагонали. Реализуем его строго по ключу для полноты картины, хотя способ через равенство треугольников короче.

Если следовать подсказке ключа: Проведём CF∥BD. Получили параллелограмм BCFD, где CF=BD. Требуется доказать AC=CF, т.е. что △ACF равнобедренный.

Угол ∠CAF — это угол A трапеции. Угол ∠CFA равен углу ∠BDA (соответственные при CF∥BD и секущей AD)? Нет, CF∥BD, секущая AD. Углы ∠CFA и ∠BDA являются соответственными, если смотреть на направление. Да, ∠CFA=∠BDA.

Но мы знаем, что в равнобедренной трапеции диагонали образуют равные углы с основанием? Это как раз следствие того, что нужно доказать. Лучше вернуться к доказательству через равенство треугольников ABD и DCA.

Треугольники ABD и DCA: AD — общая сторона, AB=CD (боковые стороны), ∠BAD=∠CDA (доказано в п. а). Значит, △ABD=△DCA по второму признаку (сторона и два прилежащих угла... нет, по первому: сторона AD, сторона AB=CD, угол ∠A=∠D).

Из равенства треугольников △ABD=△DCA следует равенство соответствующих сторон: BD=AC.

Проверка.

Логика выстроена последовательно: сначала через вспомогательный параллелограмм доказано равенство углов при основании, затем через равенство треугольников (используя доказанные углы) установлено равенство диагоналей. Все шаги опираются на известные признаки параллелограмма и равенства треугольников.