ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 497: Теорема Пифагора

План решения.

Нам даны три точки A, B и C, которые не лежат на одной прямой. Это значит, что они образуют треугольник ABC. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Если мы зафиксируем две вершины из трёх данных, то третья сторона будет диагональю или стороной нового параллелограмма. Чтобы построить четвёртую вершину D, нужно использовать свойство параллельности и равенства сторон. Поскольку у нас есть три пары точек (AB, BC, AC), каждая пара может быть либо соседними сторонами, либо диагональю (в зависимости от того, какая точка является общей). Однако более простой подход: рассмотреть каждую из трёх данных точек как вершину, к которой примыкают две стороны искомого параллелограмма, или как конец диагонали. Давайте разберём случаи попарно.

Вычисление и построение.

Рассмотрим все возможные варианты расположения четвёртой вершины D:

• Случай 1: Пусть AC — диагональ параллелограмма, а B и D — другие две вершины. Тогда ABCD — параллелограмм, где AB∥CD и AD∥BC. Чтобы найти D, проведём через точку C прямую, параллельную AB, и через точку A прямую, параллельную BC. Точка пересечения этих прямых и будет искомой вершиной D₁. В этом случае BD₁ — вторая диагональ, которая делится точкой пересечения с AC пополам.
• Случай 2: Пусть AB — диагональ параллелограмма, а C и D — другие две вершины. Тогда ACBD — параллелограмм (порядок вершин важен для названия, но геометрически это фигура с центром в середине AB). Проведём через C прямую, параллельную AB? Нет, через C проводим прямую параллельную стороне, прилегающей к другой вершине. Проще: чтобы получить параллелограмм с диагональю AB, нужно, чтобы вектор AC был равен вектору DB (или аналогично). Построим точку D₂ так, чтобы ACD₂B было параллелограммом? Нет, пусть AD₂∥CB и BD₂∥CA. То есть через A проводим прямую параллельно BC, а через B — параллельно AC. Их пересечение даст D₂. Здесь CD₂ — диагональ.
• Случай 3: Пусть BC — диагональ параллелограмма. Тогда через B проводим прямую параллельно AC, а через C — параллельно AB. Их пересечение даст точку D₃. Здесь AD₃ — диагональ.

Таким образом, мы получили три различные точки D₁, D₂ и D₃, каждая из которых вместе с исходными тремя точками образует параллелограмм.

Проверка.

Могут ли эти точки совпасть? Если бы D₁=D₂, то параллелограммы были бы идентичны, что означало бы, что AC и AB одновременно являются диагоналями одного и того же параллелограмма с общими вершинами A,B,C. Это возможно только если B=C или A=B и т.д., но по условию точки различны и не лежат на одной прямой. Также сумма площадей или векторные соотношения показывают, что AD₁=BC, AD₂=-BC (если смотреть относительно центра) или точнее: OD₁=-OB, OD₂=-OA, OD₃=-OC, где O — центр тяжести треугольника ABC (точнее, середина медиан, но в контексте параллелограммов это центры симметрии). Так как A,B,C не совпадают, то и отражения относительно середины диагоналей дают разные точки. Следовательно, существует ровно три таких параллелограмма.