ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 500: Теорема Пифагора

В задачах на построение мы используем только циркуль и линейку. Для равнобедренной трапеции ABCD (AD∥BC, AB=CD) ключевыми свойствами являются равенство боковых сторон и углов при основании.

а) Построение по основанию AD, углу A и боковой стороне AB

1. Проводим прямую и откладываем на ней отрезок AD, равный данному основанию.
2. При вершине A строим угол, равный данному <A. Одна сторона угла — это луч AD, другая — луч AX.
3. На луче AX циркулем отмеряем отрезок AB, равный данной боковой стороне.
4. Теперь нужно найти вершины C и D. Так как трапеция равнобедренная, то <D=<A. При вершине D строим угол, равный <A, с другой стороны от прямой AD. Получаем луч DY.
5. Вершина C лежит на пересечении луча DY и прямой, параллельной AD и проходящей через точку B. Однако проще использовать свойство симметрии или длины диагоналей/сторон.
6. Более надежный способ для пункта а): После построения точек A,B,D нам нужно построить точку C. Заметим, что если провести из точки B прямую, параллельную AD, то точка C будет лежать на этой прямой. Также CD=AB. Поэтому проводим окружность с центром в точке D радиусом R=AB. Точка пересечения этой окружности с прямой, проходящей через B параллельно AD (и лежащей с той же стороны, что и D относительно AB), даст нам вершину C. Но так как у нас задан угол A, то проще: строим <D=<A. На луче DY откладываем отрезок DC=AB. Соединяем B и C. Если BC∥AD, то построение верно. В общем случае, чтобы гарантировать параллельность, лучше поступить так: после нахождения B и D, строим окружность с центром D радиусом AB и окружность с центром B радиусом... нет, это сложно.
7. Правильный алгоритм для а): 1) Строим основание AD. 2) Строим <A. 3) Откладываем AB. 4) Строим <D=<A. 5) Откладываем DC=AB. 6) Соединяем B и C. Трапеция ABCD построена. Проверка: AB=CD по построению, <A=<D по построению, следовательно, трапеция равнобедренная.

б) Построение по основанию BC, боковой стороне AB и диагонали BD

1. Здесь дано меньшее основание BC. Начнем с треугольника BCD? Нет, данных мало. Лучше начать с треугольника ABD? Тоже не совсем.
2. Рассмотрим треугольник BCD. Мы знаем сторону BC, но не знаем CD и BD полностью (диагональ BD известна, но она соединяет B и D). Нам известны BC, AB (значит CD=AB) и диагональ BD. Таким образом, в треугольнике BCD нам известны три стороны: BC (дано), CD (равно AB), BD (дано).
3. Строим треугольник BCD по трем сторонам:
4. Откладываем отрезок BC, равный данному основанию.
5. Строим окружность с центром C радиусом R₁=AB (так как CD=AB).
6. Строим окружность с центром B радиусом R₂=BD (данная диагональ).
7. Точка пересечения этих окружностей (выбираем ту, которая дает выпуклую трапецию) — это вершина D.
8. Теперь у нас есть точки B,C,D. Нужно найти точку A.
9. Так как AD∥BC, то точка A лежит на прямой, проходящей через D параллельно BC. Проведем эту прямую.
10. Также известно, что AB — боковая сторона. Значит, расстояние от A до B равно AB. Строим окружность с центром B радиусом R₃=AB.
11. Точка пересечения прямой, параллельной BC и проходящей через D, с окружностью с центром B радиуса AB дает две возможные позиции для A. Выбираем ту, которая образует выпуклую трапецию ABCD (обычно это точка, лежащая «слева» от D, если BC горизонтально снизу, а D справа сверху, но зависит от ориентации). Важно: A должна быть такой, чтобы ABCD была трапецией, т.е. AD∥BC.
12. Соединяем A с B и A с D. Трапеция построена.