ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 498: Теорема Пифагора

План решения.

Задача сводится к построению параллелограмма по двум сторонам и углу между ними, с учётом того, что высота, проведённая к одной из этих сторон, должна быть равна заданному отрезку. Нам даны: угол ∠hk, длина стороны AB=P₂Q₂ и расстояние между параллельными прямыми AB и DC, то есть высота h=P₁Q₁. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны (CD=AB) и параллельны, а углы при одной стороне в сумме дают 180^°, нам достаточно построить треугольник ABD или использовать свойство высоты. Однако более прямой путь — воспользоваться указанием на задачу 292 (построение параллелограмма по стороне и высоте). Мы будем строить параллелограмм, опираясь на то, что вершина D лежит на прямой, параллельной AB на расстоянии P₁Q₁, и угол ∠DAB=∠hk.

Ход построения.

1. Проведём произвольную прямую l и отложим на ней отрезок AB, равный данному отрезку P₂Q₂. Это будет одна из сторон искомого параллелограмма.
2. В точке A построим угол, равный данному острому углу ∠hk. Пусть луч этого угла обозначен как m. Вершина D будущего параллелограмма должна лежать на этом луче m.
3. Построим прямую n, параллельную прямой l (содержащей сторону AB), на расстоянии, равном отрезку P₁Q₁. Для этого можно провести перпендикуляр к прямой l в любой точке, отложить на нём отрезок, равный P₁Q₁, и через конец этого отрезка провести прямую, параллельную l. Точка пересечения этой прямой n с лучом m даст нам вершину D.
4. Теперь у нас есть три вершины: A, B и D. Чтобы найти четвёртую вершину C, проведём через точку D прямую, параллельную AB, и через точку B прямую, параллельную AD. Точка их пересечения будет вершиной C.
5. Или проще: так как ABCD — параллелограмм, то вектор BC равен вектору AD. Можно отложить от точки B отрезок BC, равный и параллельный AD, в направлении, соответствующем порядку вершин.

Доказательство и проверка.

По построению сторона AB равна P₂Q₂. Расстояние между параллельными прямыми AB и DC равно высоте параллелограмма, опущенной из вершины D на прямую AB. Так как мы строили прямую DC параллельно AB на расстоянии P₁Q₁, то это условие выполнено. Угол ∠DAB был построен равным ∠hk. Следовательно, все условия задачи выполнены. Построение возможно, если высота P₁Q₁ меньше или равна длине боковой стороны AD. В нашем случае длина AD определяется пересечением луча под углом hk с параллелью на расстоянии P₁Q₁. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, следует, что AD=P₁Q₁/sin(∠hk). Если ∠hk острый, синус положителен, и точка D существует единственная на данном луче. Таким образом, параллелограмм ABCD является искомым.