ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 496: Признаки параллелограмма

В задачах на построение мы используем только циркуль и линейку без делений. Для каждого пункта составим алгоритм действий, опираясь на свойства параллелограмма.

а) Построение по двум смежным сторонам и углу между ними

1. Построим угол ∠A, равный данному углу. На его сторонах отложим отрезки AB и AD, равные данным сторонам.
2. Теперь у нас есть три вершины: A, B и D. Четвёртая вершина C должна быть такой, чтобы BC=AD и DC=AB (так как противоположные стороны параллелограмма равны).
3. Проведём окружность с центром в точке B радиусом, равным длине стороны AD.
4. Проведём окружность с центром в точке D радиусом, равным длине стороны AB.
5. Точка пересечения этих двух окружностей (отличная от точки A) будет искомой вершиной C.
6. Соединим точки B с C и D с C. Полученный четырёхугольник ABCD — искомый параллелограмм.

б) Построение по двум диагоналям и углу между ними

1. Построим угол ∠MON, равный данному углу между диагоналями.
2. На сторонах этого угла отложим отрезки OM и ON, равные половинам данных диагоналей (так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам). Пусть данные диагонали равны d₁ и d₂, тогда OM=d₁/2, ON=d₂/2.
3. Продлим отрезок MO за точку O на расстояние OK=OM. Теперь MK — это первая диагональ целиком.
4. Продлим отрезок NO за точку O на расстояние OL=ON. Теперь NL — это вторая диагональ целиком.
5. Соединим последовательно концы диагоналей: точки M,N,K,L. Четырёхугольник MNKL является искомым параллелограммом, так как его диагонали пересекаются в точке O и делятся ею пополам.

в) Построение по двум смежным сторонам и отрезку, соединяющему их концы (диагонали)

1. Пусть даны стороны a и b и диагональ d, соединяющая их концы. Эта диагональ разбивает параллелограмм на два треугольника со сторонами a,b,d.
2. Построим треугольник ABD по трём сторонам: AB=a, AD=b, BD=d. Это возможно сделать стандартным способом (построить основание BD, затем провести окружности из точек B и D радиусами a и b соответственно; точка пересечения — вершина A).
3. Чтобы достроить параллелограмм, нужно найти четвёртую вершину C. По свойству параллелограмма, вектор BC равен вектору AD, а вектор DC равен вектору AB. Или проще: противоположные стороны равны, значит BC=AD=b и DC=AB=a.
4. Проведём окружность с центром в точке B радиусом b.
5. Проведём окружность с центром в точке D радиусом a.
6. Точка пересечения этих окружностей (лежащая по другую сторону от диагонали BD относительно точки A) будет вершиной C.
7. Соединим B с C и D с C. Четырёхугольник ABCD — искомый параллелограмм.