ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 494: Признаки параллелограмма

План доказательства.

Чтобы доказать возможность покрытия плоскости (паркета) одинаковыми плитками в форме равнобедренной трапеции, нужно показать, что эти плитки можно укладывать без зазоров и наложений. Мы воспользуемся свойством параллелограмма: если две равные фигуры образуют параллелограмм, то такие параллелограммы могут замостить всю плоскость, так как противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, что позволяет стыковать их бесконечно.

Ход решения.

1. Возьмём две одинаковые плитки в форме равнобедренной трапеции ABCD и A₁B₁C₁D₁. Пусть основания трапеции AD и BC, а боковые стороны AB и CD равны между собой (AB=CD).

2. Приложим вторую трапецию к первой так, чтобы боковая сторона CD первой трапеции совпала с боковой стороной A₁B₁ второй трапеции. Для этого перевернём вторую трапецию относительно точки середины стороны CD или просто повернём её на 180^° вокруг середины этой стороны.

3. В результате такого соединения меньшее основание одной трапеции ляжет на одну прямую с большим основанием другой. Обозначим вершины полученной фигуры. Поскольку трапеции равны, то отрезки оснований складываются в непрерывную линию. Углы при основании равнобедренной трапеции равны. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180^° (так как основания параллельны). При стыковке двух трапеций по боковой стороне сумма смежных углов также будет составлять 180^°, что означает, что внешние границы объединённой фигуры являются прямыми линиями.

4. Рассмотрим четырёхугольник, образованный двумя трапециями. Его противоположные стороны состоят из оснований трапеций. Так как мы использовали поворот на 180^° (или центральную симметрию), то верхнее основание первой трапеции параллельно и равно нижнему основанию второй, а нижнее основание первой параллельно и равно верхнему основанию второй. Следовательно, полученная фигура является параллелограммом .

5. Известно, что плоскость можно полностью покрыть (замостить) одинаковыми параллелограммами. Для этого достаточно прикладывать новые пары трапеций (образующие параллелограммы) друг к другу по их сторонам. Так как каждая пара трапеций образует параллелограмм, а параллелограммы замощают плоскость, то и исходные трапеции замощают плоскость.

Проверка.

Убедимся в отсутствии зазоров. В любой вершине паркета сходятся несколько плиток. Если взять четыре трапеции, образующие два параллелограмма, и приложить их друг к другу, то в точке стыка сумма углов должна быть равна 360^°. Поскольку параллелограммы плотно заполняют плоскость, а они состоят из наших трапеций, условие выполнено. Таким образом, доказано, что из одинаковых равнобедренных трапеций можно сделать паркет.