ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 489: Признаки параллелограмма
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Доказать свойство средней линии трапеции: она параллельна основаниям и равна их полусумме.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Дано: трапеция ABCD с основаниями AD и BC, где M — середина боковой стороны AB. Требуется доказать, что средняя линия MN (где N — середина CD) параллельна основаниям (MN∥AD∥BC) и равна их полусумме (MN=AD+BC/2).
Идея состоит в том, чтобы провести вспомогательную прямую через середину одной из боковых сторон параллельно основанию. Эта прямая пересечёт вторую боковую сторону в её середине (согласно свойству отсечённых отрезков или задаче 488). Затем, используя признаки равенства треугольников, выразим длину этой средней линии через длины оснований.
Ход решения.
- Проведём через точку M прямую, параллельную основанию AD. Пусть она пересекает основание BC (или его продолжение) в точке K, а боковую сторону CD — в точке N′.
Так как M — середина AB и MN′∥AD, то по теореме о пропорциональных отрезках (или следствию из задачи 488) точка N′ является серединой стороны CD. Значит, N′ совпадает с точкой N, и мы доказали первый факт: средняя линия параллельна основаниям . - Рассмотрим треугольники △ABK и проведём диагональ AC, которая пересекает среднюю линию MN в точке P.
В △ABC отрезок MP соединяет середины сторон AB и AC, значит, MP — средняя линия этого треугольника. Следовательно, MP∥BC и MP=1/2BC. - В △ACD отрезок PN соединяет середины сторон AC и CD, значит, PN — средняя линия этого треугольника. Следовательно, PN∥AD и PN=1/2AD.
- Так как MP∥BC и PN∥AD, а BC∥AD (по определению трапеции), то точки M,P,N лежат на одной прямой, параллельной основаниям. Длина всей средней линии MN равна сумме длин отрезков MP и PN: MN=MP+PN=1/2BC+1/2AD=BC+AD/2 Это доказывает второй факт: средняя линия равна полусумме оснований .
Проверка.
Если бы трапеция превратилась в параллелограмм (AD=BC), формула дала бы MN=2AD/2=AD, что верно для средней линии, совпадающей со стороной. Если одно основание стремится к нулю (треугольник), формула даёт половину второго основания, что также соответствует свойству средней линии треугольника. Логика непротиворечива.
Доказано: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Использован стандартный метод разложения на два треугольника через диагональ. Это наиболее прозрачный способ для учеников 7-9 классов, так как опирается на уже изученное свойство средней линии треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 489 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 489?
Краткий ответ: Доказано: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 49. Признаки параллелограмма.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.