ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 487: Признаки параллелограмма
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Павел Лебедев, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Диагональ равнобедренной трапеции равна a. Следует найти периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон данной равнобедренной трапеции.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для решения задачи нам потребуется свойство средних линий треугольников, образованных диагоналями трапеции. Вспомним задачу 486 (или общий факт): четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон произвольного четырехугольника, является параллелограммом. Его стороны равны половинам диагоналей исходного четырехугольника. Нам нужно найти периметр этого нового четырехугольника, зная длину диагонали равнобедренной трапеции.
Вычисление.
Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. По условию, длина диагонали равна a, то есть AC=BD=a (так как в равнобедренной трапеции диагонали равны).
Обозначим середины сторон трапеции точками M,N,P,K: M — середина AB, N — середина BC, P — середина CD, K — середина DA.
Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок MN соединяет середины сторон AB и BC, следовательно, MN является средней линией треугольника ABC. По теореме о средней линии: MN=1/2AC
Аналогично, рассмотрим треугольник ADC. Отрезок KP соединяет середины сторон AD и DC, поэтому KP — средняя линия треугольника ADC: KP=1/2AC
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Отрезок MK соединяет середины сторон AB и AD, значит, MK — средняя линия треугольника ABD: MK=1/2BD
И треугольник BCD. Отрезок NP соединяет середины сторон BC и CD, значит, NP — средняя линия треугольника BCD: NP=1/2BD
Так как трапеция равнобедренная, её диагонали равны: AC=BD=a.
Подставим значение диагонали в формулы для сторон четырехугольника MNPK:
- MN=1/2a
- KP=1/2a
- MK=1/2a
- NP=1/2a
Все четыре стороны полученного четырехугольника равны между собой и равны a/2. Следовательно, четырехугольник MNPK является ромбом.
Найдем периметр PMNPK:
PMNPK=MN+NP+PK+KM=a/2+a/2+a/2+a/2=2aПроверка.
Логика опирается на фундаментальное свойство: периметрVarignon parallelogram (четырехугольника из середин) равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника. Для любой выпуклой фигуры это верно. В нашем случае диагонали равны a и a. Сумма диагоналей равна 2a. Периметр искомого четырехугольника должен быть равен этой сумме. Результат 2a совпадает с ключом и логическим выводом.
2a
Задача сводится к применению теоремы о средней линии треугольника. Четыре стороны внутреннего четырехугольника равны половинам диагоналей внешней трапеции. Так как трапеция равнобедренная, диагонали равны, поэтому все стороны внутреннего четырехугольника равны (это ромб). Периметр равен сумме всех четырех половин диагоналей, что эквивалентно сумме самих диагоналей.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 487 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 487?
Краткий ответ: 2a.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 49. Признаки параллелограмма.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.