ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 484: Признаки параллелограмма

План доказательства:

Для доказательства свойств средней линии треугольника воспользуемся методом достроения до параллелограмма. Пусть дан треугольник ABC, где M — середина стороны AC, а N — середина стороны BC. Отрезок MN является средней линией. Нам нужно доказать два факта: 1) MN∥AB; 2) MN=1/2AB.

Ход решения:

1. Продлим отрезок MN за точку N на расстояние, равное длине самого отрезка MN. Обозначим полученную точку как D. Таким образом, по построению MN=ND.
2. Рассмотрим треугольники △MNC и △DNB.
   • CN=NB, так как N — середина стороны BC (по условию).
   • MN=ND, так как мы отложили этот отрезок при построении.
   • ∠MNC=∠DNB, так как это вертикальные углы.
   Следовательно, △MNC=△DNB по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
3. Из равенства треугольников следует, что соответствующие элементы равны:
   • MC=DB;
   • ∠MCN=∠DBN.
   Так как M — середина AC, то AM=MC. Значит, AM=DB.
4. Углы ∠MCN (он же ∠ACB) и ∠DBN являются накрест лежащими при прямых AC и BD и секущей BC. Поскольку они равны, то прямые AC и BD параллельны (AC∥BD), а значит, и их части AM и DB параллельны (AM∥DB).
5. Рассмотрим четырёхугольник ABDM. В нём стороны AM и DB равны (AM=DB) и параллельны (AM∥DB). По одному из признаков параллелограмма, если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, ABDM — параллелограмм.
6. В параллелограмме ABDM противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому MD∥AB и MD=AB.
7. Вернёмся к средней линии MN. Так как точка N лежит на отрезке MD и MN=ND, то MD=MN+ND=2MN.
   • Из MD∥AB следует, что MN∥AB.
   • Из MD=AB и MD=2MN следует, что 2MN=AB, откуда MN=1/2AB.

Проверка:

Мы использовали только аксиомы планиметрии и признаки равенства треугольников/параллелограмма. Логическая цепочка замкнута: построение вспомогательной точки привело к образованию равных треугольников, что позволило доказать параллельность и равенство сторон для формирования параллелограмма, свойства которого дали искомые соотношения для средней линии. Утверждение доказано.