ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 480: Признаки параллелограмма
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Роман Жуков, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства того, что четырёхугольник является параллелограммом, воспользуемся вторым признаком: если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то он — параллелограмм. Нам нужно проверить равенство противоположных сторон для двух фигур: исходного четырёхугольника ABCD и внутреннего MNPQ. Сначала выразим длины сторон ABCD через данные отрезки, затем проанализируем треугольники, образованные вершинами M,N,P,Q, чтобы найти стороны MNPQ.
Доказательство для ABCD.
Рассмотрим сторону AB. По условию точка M лежит на ней, поэтому AB=AM+BM. Аналогично для противоположной стороны CD: точка P лежит на ней, значит CD=CP+DP. В условии дано: AM=CP и BM=DP. Сложив эти равенства, получаем: AB=AM+BM=CP+DP=CD. Таким образом, AB=CD. Теперь рассмотрим сторону BC. Точка N делит её на отрезки BN и NC, то есть BC=BN+NC. Для противоположной стороны DA точка Q даёт DA=DQ+QA. По условию BN=DQ и NC=QA. Следовательно: BC=BN+NC=DQ+QA=DA. Итак, BC=DA. Так как в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны (AB=CD и BC=DA), то по второму признаку параллелограмма ABCD является параллелограммом.
Доказательство для MNPQ.
Чтобы доказать, что MNPQ — параллелограмм, покажем равенство его противоположных сторон MN=PQ и MQ=NP. Для этого сравним соответствующие треугольники у углов параллелограмма ABCD. Так как ABCD — параллелограмм, то его противоположные углы равны: ∠A=∠C и ∠B=∠D. 1) Рассмотрим треугольники △AMQ и △CPN. - AM=CP (по условию). - AQ=CN (по условию NC=QA). - ∠A=∠C (как противоположные углы параллелограмма ABCD). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) △AMQ=△CPN. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MQ=PN. 2) Рассмотрим треугольники △BMN и △DPQ. - BM=DP (по условию). - BN=DQ (по условию). - ∠B=∠D (как противоположные углы параллелограмма ABCD). По первому признаку равенства треугольников △BMN=△DPQ. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: MN=PQ. Так как в четырёхугольнике MNPQ противоположные стороны попарно равны (MQ=PN и MN=PQ), то по второму признаку параллелограмма MNPQ является параллелограммом.
Проверка.
Логика построения верна: мы сначала использовали аддитивность длин отрезков для доказательства свойств внешнего четырёхугольника, а затем свойства полученного параллелограмма (равенство углов) позволили применить признак равенства треугольников для внутренних элементов. Все условия задачи использованы полностью.
а) ABCD — параллелограмм, так как AB=CD и BC=AD.
б) MNPQ — параллелограмм, так как MQ=PN и MN=PQ.
Задача требует последовательного применения признаков параллелограмма. Сначала доказывается, что внешний четырехугольник ABCD является параллелограммом через сложение данных отрезков. Затем, используя свойство равенства противоположных углов параллелограмма, доказываются равенства треугольников, из которых следует равенство противоположных сторон внутреннего четырехугольника MNPQ.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 480 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 480?
Краткий ответ: а) ABCD — параллелограмм, так как AB=CD и BC=AD. б) MNPQ — параллелограмм, так как MQ=PN и MN=PQ.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 49. Признаки параллелограмма.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.