ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 483: Признаки параллелограмма

План решения.

Чтобы доказать, что четырехугольник APCQ является параллелограммом, воспользуемся вторым признаком параллелограмма: если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Нам нужно рассмотреть диагонали исходного параллелограмма ABCD и нового четырехугольника APCQ. Диагональ AC параллелограмма ABCD пересекает диагональ BD в точке O, которая является серединой обеих диагоналей. Точки P и Q лежат на диагонали BD, значит, отрезок PQ лежит на прямой BD. Следовательно, диагональю четырехугольника APCQ является отрезок PQ, а второй диагональю — отрезок AC. Их точка пересечения — это та же самая точка O. Наша задача сводится к доказательству того, что точка O делит отрезок PQ пополам, то есть PO=OQ.

Вычисление и доказательства.

1. Рассмотрим параллелограмм ABCD. По свойству параллелограмма его диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Значит, верно равенство: BO=OD 2. По условию задачи на диагонали BD отмечены точки P и Q так, что: PB=QD 3. Расположение точек на диагонали BD можно представить как последовательность B-P-O-Q-D или B-Q-O-P-D (в зависимости от того, какая точка ближе к центру, но симметрия сохраняется). В любом случае, отрезки BP и DQ равны и отложены от концов диагонали BD внутрь. 4. Выразим длины отрезков PO и OQ через известные нам величины. Так как точка O — середина BD, то BO=OD. Отрезок PO можно найти как разность длин BO и BP (если P находится между B и O) или как сумму/разность в другом порядке. Однако более универсальный способ: рассмотрим треугольники △ABP и △CDQ? Нет, проще использовать свойства отрезков на прямой. 5. Поскольку BO=OD и BP=DQ, вычтем из равных величин равные: BO-BP=OD-DQ Левая часть этого равенства (BO-BP) представляет собой длину отрезка PO (при условии, что P лежит на отрезке BO). Правая часть (OD-DQ) представляет собой длину отрезка OQ (при условии, что Q лежит на отрезке OD). Если точки расположены иначе (например, P дальше центра), логика аналогична с учетом модулей или просто симметрией относительно центра O. Главное, что центр O параллелограмма ABCD совпадает с центром симметрии для точек P и Q, так как они равноудалены от вершин B и D соответственно. 6. Таким образом, мы получили: PO=OQ 7. Теперь посмотрим на четырехугольник APCQ. Его диагонали — это AC и PQ. Они пересекаются в точке O. Мы знаем, что AO=OC (так как ABCD — параллелограмм) и только что доказали, что PO=OQ. 8. По второму признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, APCQ — параллелограмм.

Проверка.

Давайте проверим логику на частном случае. Представим себе прямоугольник ABCD. Диагонали равны и делятся пополам. Если мы возьмем точку P на расстоянии x от вершины B вдоль диагонали, и точку Q на таком же расстоянии x от вершины D вдоль той же диагонали, то из-за центральной симметрии прямоугольника точка P перейдет в точку Q при повороте на 180^o вокруг центра O. Это означает, что O является серединой отрезка PQ. Также O является серединой AC. Четырехугольник, у которого диагонали делятся пополам одной точкой, всегда является параллелограммом. Доказательство корректно и не зависит от формы исходного параллелограмма.