ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 486: Признаки параллелограмма

План доказательства:

Для решения задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника. Нам нужно рассмотреть произвольный четырехугольник ABCD и отметить середины его сторон: пусть M — середина AB, N — середина BC, P — середина CD, Q — середина DA. Чтобы доказать, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом, достаточно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны (или просто параллельны). Для этого проведем одну из диагоналей исходного четырехугольника, например, AC, которая разобьет его на два треугольника.

Ход вычислений и рассуждений:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок MN соединяет середины сторон AB и BC, следовательно, MN является средней линией треугольника ABC. По теореме о средней линии треугольника, MN∥AC и MN=1/2AC.

2. Теперь рассмотрим треугольник ADC. Отрезок QP соединяет середины сторон AD и DC, значит, QP — средняя линия треугольника ADC. Следовательно, QP∥AC и QP=1/2AC.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что отрезки MN и QP параллельны одной и той же прямой AC, поэтому они параллельны друг другу (MN∥QP). Также они равны между собой, так как оба равны половине длины диагонали AC (MN=QP).

4. Аналогично можно провести диагональ BD и рассмотреть треугольники ABD и CBD. Средняя линия MQ в △ABD параллельна BD и равна 1/2BD, а средняя линия NP в △CBD параллельна BD и равна 1/2BD. Значит, MQ∥NP и MQ=NP.

Вывод и проверка:

Мы доказали, что в четырехугольнике MNPQ противоположные стороны попарно параллельны (MN∥QP и MQ∥NP) и равны (MN=QP и MQ=NP). Согласно одному из признаков параллелограмма (если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм), четырехугольник MNPQ является параллелограммом. Теорема Вариньона доказана.