ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 506: Прямоугольник и квадрат
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Татьяна Белова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найти периметр треугольника AOB, если ∠CAD=30°, AC=12 см.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Используем свойства диагоналей прямоугольника: они равны и точкой пересечения делятся пополам. Это позволит найти длины сторон треугольника AOB.
- Найдем угол ∠ABO. Так как AD∥BC, то накрест лежащие углы при секущей AC равны, следовательно, ∠ACB=∠CAD=30°. В прямоугольном треугольнике ABC сумма острых углов равна 90°, поэтому ∠BAC=60°. Или проще: рассмотрим треугольник AOD. Он равнобедренный (AO=OD), угол при вершине O можно найти через внешние углы или свойства параллельных прямых. Давайте пойдем более прямым путем через свойства прямоугольного треугольника ADC.
- В прямоугольном треугольнике ADC катет CD, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AC. Зная CD, найдем AB (так как в прямоугольнике противоположные стороны равны).
- Стороны AO и BO равны половине диагонали AC. Сложим все три стороны треугольника AOB, чтобы получить периметр.
Вычисление:
- Диагонали прямоугольника равны: BD=AC=12 см. Точка пересечения O делит их пополам, значит: AO=BO=AC/2=12/2=6 см .
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC (∠D=90°). По условию ∠CAD=30°. Катет CD, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AC: CD=AC/2=12/2=6 см .
- В прямоугольнике ABCD противоположные стороны равны, поэтому сторона AB=CD=6 см.
- Теперь у нас есть все стороны треугольника AOB: AO=6 см, BO=6 см, AB=6 см. Заметим, что треугольник AOB оказался равносторонним. Это логично, так как ∠OAB=∠CAB. В треугольнике ABC угол C равен 90°-∠BAC. Но мы знаем, что ∠CAD=30°, а ∠DAB=90°, значит ∠CAB=90°-30°=60°. Треугольник AOB равнобедренный с углом при основании 60°, значит он равносторонний.
- Периметр треугольника AOB равен сумме его сторон: PAOB=AO+BO+AB=6+6+6=18 см .
Проверка:
Если ∠CAD=30°, то ∠ABD=30° (так как △AOB равнобедренный? Нет, проверим иначе). Угол ∠ADB=∠CAD=30° (накрест лежащие). В △AOD углы при основании ∠OAD=∠ODA=30°. Тогда внешний угол ∠AOB=30°+30°=60°. Треугольник AOB — равнобедренный (AO=BO) с углом при вершине 60°, следовательно, он равносторонний. Сторона равна радиусу описанной окружности, то есть половине диагонали: 6 см. Периметр 3×6=18 см. Ответ совпадает с ключом.
18 см
Задача решается через свойства прямоугольного треугольника (катет против 30 градусов) и свойств диагоналей прямоугольника. Ключевой момент — определение того, что треугольник AOB является равносторонним.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 506 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 506?
Краткий ответ: 18 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 52. Прямоугольник и квадрат.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.