ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 507: Прямоугольник и квадрат

План решения.

Рассмотрим свойства ромба и треугольников, которые образуют его диагонали. Так как все стороны ромба равны, а по условию одна из диагоналей также равна стороне, то эта диагональ делит ромб на два равносторонних треугольника. Используя свойства равностороннего треугольника и тот факт, что диагонали ромба являются биссектрисами его углов, найдем искомые величины.

Вычисление.

а) Пусть в ромбе ABCD диагональ AC равна стороне AB. Тогда треугольник ABC является равносторонним, так как AB=BC=AC. В равностороннем треугольнике все углы равны 60^°, следовательно, угол B (и противоположный ему угол D) равен 60^°. Так как сумма углов четырехугольника равна 360^°, а углы при основании равнобедренного треугольника ADC (где AD=DC=AC) равны углам при основании треугольника ABC, то углы A и C состоят из двух углов по 60^°? Нет, давайте посмотрим внимательнее. Угол B=60^°. Угол D=60^° (противолежащие углы ромба равны). Сумма смежных углов ромба равна 180^°. Значит, угол A=180^°-60^°=120^°. Аналогично, угол C=120^°. Итак, углы ромба: 60^° и 120^°.

б) Диагонали ромба делят его углы пополам (являются биссектрисами). Диагональ BD делит углы B и D (60^°) пополам. Следовательно, углы, которые диагональ BD образует со сторонами AB,BC,CD,DA, равны: 60^°/2=30^° Диагональ AC делит углы A и C (120^°) пополам. Следовательно, углы, которые диагональ AC образует со сторонами AB,AD,CB,CD, равны: 120^°/2=60^° Таким образом, диагонали образуют со сторонами углы 30^° и 60^°.

Проверка.

В равностороннем треугольнике высота (которая является частью диагонали BD) делит основание AC пополам и образует с боковой стороной угол 30^° (так как угол вершины 60^°, а высота — биссектриса). Это согласуется с пунктом б). Сумма углов ромба 60+120+60+120=360^°, что верно для любого выпуклого четырехугольника. Ответы совпадают с ключом.