ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 510: Прямоугольник и квадрат
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Светлана Крылова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если
а) его диагонали взаимно перпендикулярны
б) диагональ делит его угол пополам.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства:
Нам дан параллелограмм ABCD. Чтобы доказать, что он является ромбом, достаточно показать, что все его стороны равны. Поскольку в параллелограмме противоположные стороны попарно равны (AB=CD, BC=AD), нам нужно доказать равенство соседних сторон, например, AB=BC. Рассмотрим каждый пункт отдельно.
а) Диагонали взаимно перпендикулярны
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По свойству параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть BO=OD. По условию пункта а) диагонали перпендикулярны, значит, △AOB и △AOD — прямоугольные треугольники с общим катетом AO и равными вторыми катетами (BO=OD).
Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам: △AOB=△AOD. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз: AB=AD. Так как в параллелограмме AB=CD и AD=BC, то AB=BC=CD=DA. Параллелограмм с равными сторонами является ромбом.
б) Диагональ делит угол пополам
Пусть диагональ AC делит угол △DAB пополам, то есть △DAC=△BAC. Так как ABCD — параллелограмм, то AD△BC. Тогда углы △DAC и △BCA являются накрест лежащими при секущей AC, поэтому они равны: △DAC=△BCA.
Из условия имеем △DAC=△BAC, а из свойств параллельных прямых — △DAC=△BCA. Следовательно, △BAC=△BCA. Это означает, что △ABC — равнобедренный с основанием AC, откуда следует равенство боковых сторон: AB=BC. Если у параллелограмма две соседние стороны равны, то все его стороны равны, и он является ромбом.
Проверка:
В обоих случаях мы пришли к выводу, что соседние стороны параллелограмма равны. Определение ромба гласит, что это параллелограмм, у которого все стороны равны. Логика непротиворечива, признаки доказаны.
а) Доказано через равенство прямоугольных треугольников, образованных половинами диагоналей.
б) Доказано через свойства накрест лежащих углов и равнобедренного треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 510 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 510?
Краткий ответ: а) Доказано через равенство прямоугольных треугольников, образованных половинами диагоналей. б) Доказано через свойства накрест лежащих углов и равнобедренного треугольника.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 52. Прямоугольник и квадрат.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.