ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 512: Прямоугольник и квадрат
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Роман Жуков, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали
а) равны и взаимно перпендикулярны
б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину
в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи вспомним признаки квадрата. Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами или ромб с прямыми углами. Его диагонали обладают тремя ключевыми свойствами: они равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам (имеют общую середину). Проверим каждый пункт условия отдельно.
а) Диагонали равны и взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим четырёхугольник ABCD с диагоналями AC и BD. Пусть AC=BD и AC⊥BD. Если диагонали не имеют общей середины, то четырёхугольник может быть равнобедренной трапецией с перпендикулярными диагоналями или другим произвольным выпуклым четырёхугольником. Например, можно построить равнобедренную трапецию, где основания параллельны, боковые стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и равны между собой. В таком случае углы при вершинах не будут равны 90°, и стороны не будут равны. Следовательно, этих двух условий недостаточно для того, чтобы гарантировать, что фигура является квадратом.
б) Диагонали взаимно перпендикулярны и имеют общую середину.
Если диагонали имеют общую середину, то по признаку параллелограмма данный четырёхугольник является параллелограммом. Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Однако у ромба углы могут быть не прямыми (например, 60° и 120°), а диагонали могут быть неравными. Для квадрата необходимо также равенство диагоналей (или наличие прямого угла). Поскольку условие не требует равенства диагоналей, мы имеем дело только с ромбом, который не обязательно является квадратом.
в) Диагонали равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину.
Разберём свойства последовательно:
- Так как диагонали имеют общую середину, четырёхугольник является параллелограммом .
- Так как диагонали равны (AC=BD), параллелограмм является прямоугольником .
- Так как диагонали взаимно перпендикулярны (AC⊥BD), параллелограмм является ромбом .
Четырёхугольник, который одновременно является и прямоугольником, и ромбом, называется квадратом . Таким образом, все три условия вместе однозначно определяют квадрат.
а) нет
б) нет
в) да
В пункте а) контрпримером служит равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями. В пункте б) контрпримером служит ромб, не являющийся квадратом. В пункте в) выполняется полный набор признаков квадрата.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 512 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 512?
Краткий ответ: а) нет б) нет в) да.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 52. Прямоугольник и квадрат.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.