ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 518: Прямоугольник и квадрат

План доказательства.

Чтобы доказать, что прямая является осью симметрии фигуры, нужно показать, что при отражении относительно этой прямой каждая точка прямоугольника переходит в точку того же прямоугольника. Рассмотрим прямоугольник ABCD и прямую l, проходящую через середины противоположных сторон AD и BC. Обозначим эти середины как M и N соответственно. Нам необходимо проверить два случая: поведение точек на самой прямой l и поведение вершин прямоугольника, не лежащих на ней.

Ход вычислений и рассуждений.

1. Точки на прямой симметрии. Любая точка, лежащая на оси симметрии, при отражении остаётся на месте. Следовательно, точки M и N, а также все промежуточные точки отрезка MN, переходят сами в себя.

2. Отражение вершин. Так как ABCD — прямоугольник, то его противоположные стороны равны (AD=BC) и параллельны, а углы при вершинах прямые. Прямая MN перпендикулярна сторонам AD и BC, так как соединяет их середины в равнобедренной трапеции (в данном случае прямоугольнике это следует из свойств средней линии или равенства треугольников AMN и DMN, если провести диагонали, но проще опираться на определение).

Рассмотрим пару вершин A и D. Точка M — середина AD, значит AM=MD. Прямая MN перпендикулярна AD. При отражении относительно прямой MN точка A перейдёт в точку, которая находится на расстоянии AM от прямой MN с другой стороны. Поскольку MD=AM и угол △MDA прямой (относительно перпендикуляра), точкой-образом A будет являться D. Аналогично, точка D перейдёт в точку A.

Рассмотрим пару вершин B и C. Точка N — середина BC, значит BN=NC. Прямая MN перпендикулярна BC. По той же логике, при отражении относительно MN точка B перейдёт в точку C, а точка C перейдёт в точку B.

3. Отражение сторон. Сторона AB соединяет точки A и B. Её образом при отражении станет отрезок, соединяющий образы этих точек, то есть отрезок DC. Сторона DC перейдёт в сторону AB. Стороны AD и BC, будучи перпендикулярными оси симметрии и пересекая её в серединах, отображаются сами в себя (отрезок AM переходит в DM, отрезок AN... нет, точнее: отрезок AD целиком переходит в себя, так как концы меняются местами, а середина стоит на месте).

Проверка и вывод.

Мы показали, что множество всех точек прямоугольника ABCD при отражении относительно прямой MN переходит в само себя. Вершины A↔D и B↔C обмениваются местами, а стороны сохраняют своё положение в пространстве (переходят в соответствующие стороны). Это полностью удовлетворяет определению оси симметрии. Таким образом, прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, действительно является его осью симметрии.