ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 523: Прямоугольник и квадрат
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Обозначим равнобедренный треугольник как ABC, где AB=BC — боковые стороны, а AC — основание. Пусть точка M лежит на основании AC. Через точку M проведены прямые, параллельные боковым сторонам: одна параллельна AB и пересекает сторону BC в точке K, другая параллельна BC и пересекает сторону AB в точке L. Нам нужно доказать, что периметр четырёхугольника BLMK равен сумме длин боковых сторон треугольника, то есть PBLMK=AB+BC.
Вычисление и доказательства.
1. Рассмотрим полученный четырёхугольник BLMK. По условию, LM∥BK (так как LM∥BC) и LK∥BM (так как LK∥AB). Следовательно, четырёхугольник BLMK является параллелограммом. В параллелограмме противоположные стороны равны: BL=MK и LM=BK. 2. Периметр параллелограмма BLMK вычисляется по формуле: PBLMK=BL+LK+KM+MB Заменим равные стороны: PBLMK=BL+LM+BL+LM=2(BL+LM)? Нет, лучше использовать свойства треугольников, образованных отсечёнными частями. 3. Рассмотрим треугольник ALM. Так как LM∥BC, то угол AML равен углу C (как соответственные при параллельных прямых). Треугольник ABC равнобедренный, поэтому углы при основании равны: ∠A=∠C. Следовательно, ∠A=∠AML. Значит, треугольник ALM — равнобедренный с основанием AM, откуда следует, что боковые стороны равны: AL=LM. 4. Аналогично рассмотрим треугольник KMC. Так как LK∥AB (или точнее, сторона параллелограмма KM лежит на прямой, параллельной AB? Нет, KM — это часть стороны BC? Проверим построение. Прямая через M параллельна AB пересекает BC в K. Значит, MK∥AB. Тогда угол MKC равен углу B? Нет, угол KMC равен углу A (соответственные). А угол C равен углу A. Значит, в треугольнике KMC: ∠KMC=∠A=∠C. Следовательно, треугольник KMC равнобедренный с основанием KC, откуда MK=KC. 5. Теперь вернёмся к периметру параллелограмма BLMK. Его стороны: BL, LM, MK, KB. Мы знаем, что LM=AL (из п.3). Мы знаем, что MK=KC (из п.4). Также из свойств параллелограмма BL=MK и LM=KB. Но нам удобнее выразить всё через стороны исходного треугольника. Периметр PBLMK=BL+LM+MK+KB. Подставим найденные равенства: LM=AL и MK=KC. Тогда PBLMK=BL+AL+KC+KB. Сгруппируем слагаемые: (BL+AL)+(KB+KC). Из чертежа видно, что BL+AL=AB, а KB+KC=BC. Следовательно, PBLMK=AB+BC.
Проверка.
Так как треугольник равнобедренный (AB=BC), сумма боковых сторон равна 2AB. Периметр параллелограмма состоит из двух пар равных сторон. Одна пара равна отрезкам на боковой стороне AB (в сумме дающим AB за счёт замены LM на AL), вторая пара равна отрезкам на боковой стороне BC (в сумме дающим BC за счёт замены MK на KC). Логика непротиворечива. Утверждение доказано.
Доказательство завершено: периметр параллелограмма равен AB+BC.
В решении использованы свойства параллельных прямых и равнобедренных треугольников для замены сторон параллелограмма на части боковых сторон исходного треугольника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 523 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 523?
Краткий ответ: Доказательство завершено: периметр параллелограмма равен AB + BC.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 52. Прямоугольник и квадрат.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.