7–9 классы Прямоугольник и квадрат § 52. Прямоугольник и квадрат

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 525: Прямоугольник и квадрат

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Мария Волкова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 524 526 →

Условие

Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План доказательства.

Нам дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Условие гласит, что сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180^°. Это означает, что для любой пары соседних вершин (например, A и B, или B и C) сумма соответствующих внутренних углов составляет развёрнутый угол. Наша задача — показать, что противоположные стороны этого четырёхугольника параллельны, что является определением параллелограмма.

Ход вычислений и рассуждений.

Рассмотрим сторону AB. К ней прилежат углы ∠A и ∠B. По условию:

∠A+∠B=180^°

Углы ∠A и ∠B являются односторонними углами при прямых AD и BC, которые пересечены секущей AB. Если сумма односторонних углов равна 180^°, то эти прямые параллельны. Следовательно, мы получаем первое равенство:

AD∥BC

Теперь рассмотрим следующую смежную сторону, например, BC. К ней прилежат углы ∠B и ∠C. По условию задачи это также должно выполняться для каждой из двух смежных сторон (или, как следует из логики задачи про «две смежные стороны», обычно подразумевается, что свойство выполняется для всех пар, но даже если только для двух конкретных, давайте проверим вторую пару). В условии сказано: «сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон». Возьмём сторону BC. Тогда:

∠B+∠C=180^°

Здесь углы ∠B и ∠C являются односторонними углами при прямых AB и CD, пересечённых секущей BC. Из равенства суммы этих углов 180^° следует, что:

AB∥CD

Таким образом, мы доказали, что в четырёхугольнике ABCD обе пары противоположных сторон попарно параллельны (AD∥BC и AB∥CD).

Проверка и вывод.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, называется параллелограммом. Мы использовали признак параллельности прямых через сумму односторонних углов. Так как условие выполнено для смежных сторон, оно связывает все четыре угла последовательно. Например, если бы мы взяли сторону CD, то ∠C+∠D=180^°, что подтвердило бы AD∥BC ещё раз, а сторона DA дала бы ∠D+∠A=180^°, что подтвердило бы AB∥CD. Все условия согласованы. Доказательство завершено.

Ответ

Доказано: так как сумма односторонних углов при прямой-секущей равна 180°, то противоположные стороны параллельны. Четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон является параллелограммом.

В условии есть нюанс формулировки 'каждой из двух смежных сторон'. Обычно в таких задачах подразумевается, что свойство выполняется для всех пар соседних углов, либо достаточно взять две смежные стороны, чтобы охватить все четыре вершины и доказать параллельность обеих пар противоположных сторон. Решение построено на классическом признаке параллельности.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 525 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 525?

Краткий ответ: Доказано: так как сумма односторонних углов при прямой-секущей равна 180°, то противоположные стороны параллельны. Четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон является параллелограммом.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 52. Прямоугольник и квадрат.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.