ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 529: Прямоугольник и квадрат
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Из вершины B ромба ABCD проведены перпендикуляры BK и BM к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла KBM.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения. Чтобы доказать, что луч BD является биссектрисой угла KBM, необходимо показать равенство углов △KBD и △MBD. Для этого воспользуемся свойствами ромба (диагональ делит углы пополам) и признаками равенства прямоугольных треугольников. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: △BKD и △BMD.
Ход доказательства. 1. По условию задачи ABCD — ромб. Диагональ BD ромба является биссектрисой его углов, то есть она делит угол △ADC пополам. Следовательно, △ADB=△CDB? Нет, точнее: диагональ BD делит угол △D на две равные части, то есть △ADB и △CDB симметричны относительно BD. Важнее другое: в ромбе все стороны равны, поэтому AD=CD. Также диагональ BD общая для треугольников △ABD и △CBD, но нам нужны треугольники с перпендикулярами. 2. Рассмотрим прямоугольные треугольники △BKD и △BMD. - Угол △BKD=90o, так как BKbotAD. - Угол △BMD=90o, так как BMbotDC. - Гипотенуза BD у обоих треугольников общая. - Острый угол при вершине D: так как ABCD — ромб, его диагональ BD является биссектрисой угла △ADC. Значит, △KDB=△MDB (углы между стороной ромба и диагональю равны). 3. По первому признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и острому углу), △BKD=△BMD. 4. Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих элементов: катеты BK=BM и, что более важно для нас, соответствующие острые углы при вершине B равны: △KBD=△MBD.
Вывод и проверка. Так как мы доказали, что △KBD=△MBD, это означает, что луч BD делит угол △KBM на два равных угла. По определению биссектрисы, луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам, называется биссектрисой этого угла. Следовательно, луч BD является биссектрисой угла KBM. Что и требовалось доказать.
Доказано через равенство прямоугольных треугольников BKD и BMD по гипотенузе BD и острому углу при вершине D (так как диагональ ромба — биссектриса). Из равенства треугольников следует равенство углов KBD и MBD.
Использовано свойство диагонали ромба быть биссектрисой угла. Доказательство опирается на признак равенства прямоугольных треугольников.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 529 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 529?
Краткий ответ: Доказано через равенство прямоугольных треугольников BKD и BMD по гипотенузе BD и острому углу при вершине D (так как диагональ ромба — биссектриса). Из равенства треугольников следует равенство углов KBD и MBD.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 52. Прямоугольник и квадрат.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.