ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 532: Прямоугольник и квадрат
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Диагональ AC квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная к прямой AC, пересекает прямые BC и CD соответственно в точках M и N. Найдите MN.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Сначала определим геометрические свойства полученных фигур. Так как ABCD — квадрат, его диагональ AC делит углы при вершинах пополам, то есть bACB=bACD=45°. По условию прямая MN перпендикулярна диагонали AC в точке A, значит, угол bCAM=90°. Нам нужно найти длину отрезка MN, который является гипотенузой треугольника MCN (или суммой катетов/гипотенуз других связанных треугольников). Рассмотрим треугольники ACM и ACN отдельно, чтобы выразить через них стороны или сам отрезок MN.
Вычисление.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACM (bCAM=90°). Угол bACM совпадает с углом bACB квадрата, так как точка M лежит на прямой BC. Следовательно, bACM=45°. Так как один из острых углов равен 45°, то и второй острый угол bAMC=90°-45°=45°. Значит, треугольник ACM — равнобедренный прямоугольный, где катеты равны: AM=AC. По условию AC=18,4 см, поэтому AM=18,4 см. Гипотенуза CM находится по теореме Пифагора или свойству квадрата: CM=AC·2=18,42 см.
Теперь рассмотрим треугольник ACN. Аналогично, точка N лежит на прямой CD, поэтому угол bACN совпадает с углом bACD квадрата и равен 45°. Так как MN⊥AC, то bCAN=90°. Треугольник ACN также является равнобедренным прямоугольным (bANC=45°), следовательно, катет AN=AC=18,4 см.
Обратим внимание на расположение точек. Прямая проходит через A перпендикулярно AC. В квадрате диагональ AC направлена «внутрь» угла BAD. Перпендикуляр к ней в точке A будет направлен «наружу» относительно самого квадрата, пересекая продолжения сторон BC и CD. Однако, давайте проверим геометрию точнее. Угол bCAD=45°. Если мы опускаем перпендикуляр к AC из точки A, то он образует с стороной AD угол 90°-45°=45° (если смотреть со стороны вне квадрата) или пересекает сторону CD? Нет, прямая MN пересекает прямые BC и CD. Давайте посмотрим на треугольник MCN. Точки M,C,N лежат на одной прямой? Нет, M на BC, N на CD. Угол bMCN — это угол квадрата bBCD=90°. Мы нашли CM=18,42 и CN=18,42 (так как △ACN равнобедренный, гипотенуза CN=AC2). В прямоугольном треугольнике MCN (угол при C равен 90°, так как это угол квадрата между сторонами BC и CD) катеты CM и CN равны. Тогда гипотенуза MN равна: MN=CM2+CN2 Подставим значения: CM=18,42, CN=18,42 MN=(18,42)2+(18,42)2=2·(18,4)2·2=4·(18,4)2=2·18,4=36,8 см.
Проверка.
Можно решить задачу другим способом, используя подобие или тригонометрию. В △ACM: AM=ACtan(45°)=AC. CM=AC/cos(45°)=AC2. В △ACN: AN=ACtan(45°)=AC. CN=AC/cos(45°)=AC2. Треугольник MCN — прямоугольный с катетами CM и CN. MN=CM2+CN2=2AC2+2AC2=4AC2=2AC. Действительно, длина отрезка MN оказывается ровно вдвое больше длины диагонали квадрата. MN=2·18,4=36,8 см. Расчет верен.
36,8 см
Задача требует понимания свойств диагоналей квадрата и построения вспомогательных прямоугольных треугольников. Ключевой момент — осознание того, что треугольники ACM и ACN являются равнобедренными прямоугольными, а треугольник MCN — тоже прямоугольным (угол C равен 90 градусов).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 532 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 532?
Краткий ответ: 36,8 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 52. Прямоугольник и квадрат.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.