ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 534: Прямоугольник и квадрат

План решения.

1. Используем свойства параллельных прямых и биссектрисы угла, чтобы определить вид треугольника ABC и найти связь между сторонами трапеции. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD, используя данное условие перпендикулярности диагонали к боковой стороне и угол при основании. 3. Выразим все стороны трапеции через одно неизвестное (например, меньшее основание или боковую сторону) и составим уравнение для периметра. 4. Найдем длину большего основания AD.

Вычисление.

Так как ABCD — трапеция с основанием AD, то BC∥AD. Следовательно, накрест лежащие углы равны: ∠BCA=∠CAD.

По условию задачи ∠BAC=∠CAD.

Из этих двух равенств следует, что ∠BAC=∠BCA. Значит, треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC, откуда получаем равенство боковых сторон: AB=BC.

Рассмотрим треугольник ACD. По условию AC⊥CD, значит, △ACD — прямоугольный с прямым углом ∠ACD=90^°.

Дано, что ∠D=60^°. Тогда третий угол этого треугольника равен: ∠CAD=180^°-90^°-60^°=30^°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30^°, равен половине гипотенузы. Катетом против угла ∠CAD=30^° является сторона CD, а гипотенузой — сторона AD. Следовательно: CD=1/2AD.

Теперь найдем остальные углы трапеции. Так как ∠CAD=30^°, то по условию ∠BAC=30^°. Весь угол ∠BAD=∠BAC+∠CAD=30^°+30^°=60^°.

Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180^°. Для стороны AB: ∠ABC=180^°-∠BAD=180^°-60^°=120^°.

Для стороны CD: ∠BCD=180^°-∠D=180^°-60^°=120^°.

Проверим сумму углов трапеции: 60^°+120^°+120^°+60^°=360^°. Все верно.

Обозначим длину большего основания AD=x см.

Тогда из свойств △ACD: CD=x/2.

Найдем сторону BC. Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. В прямоугольном треугольнике ABH угол ∠BAH=60^°, тогда ∠ABH=30^°. Катет AH лежит против угла 30^°, поэтому AH=1/2AB.

Однако проще использовать свойство равнобедренной трапеции? Нет, трапеция не обязательно равнобедренная (AB=BC, но CD может отличаться). Давайте выразим AB через x.

Вернемся к △ABC. Мы знаем, что AB=BC. Угол ∠BAC=30^°, ∠BCA=30^°, значит ∠ABC=120^°.

Проведем в △ABC высоту BM к основанию AC. Она также является медианой и биссектрисой. Но нам нужно связать AB с AD.

Давайте посмотрим на проекции. Или используем теорему синусов/косинусов? Есть более простой геометрический путь.

В △ACD: AC=AD·cos(30^°)=x·3/2.

В △ABC: это равнобедренный треугольник с углом при вершине 120^° и боковыми сторонами AB=BC=y. Основание AC=y3 (так как высота делит его на два треугольника с углами 30-60-90, где катет при 60 это половина основания... нет, катет при 30 это половина основания? Нет. В △ABM (где M середина AC), угол ∠BAM=30^°, гипотенуза AB=y, катет AM=AC/2. AM=ycos(30^°)=y3/2. Значит AC=2AM=y3).

Приравниваем выражения для AC: y3=x3/2impliesy=x/2.

Итак, мы получили, что AB=BC=x/2.

Также мы уже нашли, что CD=x/2.

Значит, все три боковые стороны и меньшее основание равны половине большего основания: AB=BC=CD=x/2.

Это означает, что трапеция состоит из трех равносторонних треугольников? Если AB=BC=CD=AD/2, то да, это характерно для трапеции, образованной тремя равносторонними треугольниками со стороной a, где верхнее основание a, боковые a, нижнее 2a. Проверим углы: если бы она состояла из равносторонних, углы были бы 60 и 120. У нас ∠A=60, ∠D=60. Да, это так.

Периметр трапеции P равен сумме всех сторон:

Проверка.

Если AD=8 см, то AB=BC=CD=4 см.

Периметр: 4+4+4+8=20 см. Совпадает с условием.

Углы: △ACD прямоугольный, катет CD=4, гипотенуза AD=8. sin(∠CAD)=4/8=1/2⇒∠CAD=30^°. ∠D=60^°. Верно.

△ABC равнобедренный, стороны 4,4, основание AC. AC=8²-4²=64-16=48=43. В △ABC косинус угла A: (4²+(43)²-4²)/(2·4·43)=48/32}3=3/2}3=3/2. Значит ∠BAC=30^°. Совпадает с ∠CAD. Условие выполнено.