ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 530: Прямоугольник и квадрат

План доказательства:

Чтобы доказать, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон, воспользуемся свойствами ромба и прямоугольных треугольников. Нам нужно показать, что расстояния (перпендикуляры) от точки пересечения до всех четырёх сторон равны между собой.

Ход решения:

1. Пусть дан ромб ABCD, где O — точка пересечения диагоналей AC и BD. По свойству ромба диагонали являются биссектрисами его углов. Значит, AO — биссектриса угла DAB, а BO — биссектриса угла ABC.
2. Проведём из точки O перпендикуляры к сторонам ромба: OK⊥AB, OL⊥BC, OM⊥CD, ON⊥DA. Длины этих отрезков OK,OL,OM,ON и есть расстояния от точки O до соответствующих сторон.
3. Рассмотрим треугольники AOK и AON. Они прямоугольные (∠AKO=∠ANO=90^°), имеют общий гипотенузу AO и острые углы ∠KAO=∠NAO, так как AO — биссектриса угла A. Следовательно, △AOK=△AON по гипотенузе и острому углу. Отсюда следует, что OK=ON.
4. Аналогично рассмотрим треугольники BOK и BOL. Так как BO — биссектриса угла B, то △BOK=△BOL по тем же признакам. Следовательно, OK=OL.
5. Таким образом, мы получили цепочку равенств: ON=OK=OL. В силу симметрии ромба или аналогичных рассуждений для других вершин можно утверждать, что все четыре перпендикуляра равны: OK=OL=OM=ON.

Проверка:

Точка пересечения диагоналей ромба является центром вписанной окружности этого ромба. Радиусы, проведённые в точки касания с сторонами, перпендикулярны этим сторонам и равны между собой. Это подтверждает наш вывод: расстояние от центра до любой стороны одинаково.