ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 527: Прямоугольник и квадрат

План решения.

Для доказательства равенства AD=1/3AC воспользуемся методом вспомогательной параллельной прямой. Проведём через середину отрезка AM (точку K) прямую, параллельную стороне BC, и обозначим точку её пересечения со стороной AC как E. Затем проанализируем треугольник BCE и его медиану CK (в контексте подобия или теоремы Фалеса), а также треугольник AME.

Вычисление и доказательство.

1. Пусть M — середина стороны BC, так как AM является медианой треугольника ABC. Значит, BM=MC.

2. Точка K — середина медианы AM, то есть AK=KM.

3. Проведём через точку K прямую, параллельную основанию BC, которая пересекает сторону AC в точке E. То есть KE∥BC.

4. Рассмотрим треугольник AMC. В нём точка K лежит на стороне AM, а прямая KE параллельна стороне MC (так как MC часть BC). По теореме Фалеса (или свойству средней линии, если бы мы рассматривали весь треугольник с другой серединой), так как K — середина AM, то и E будет серединой отрезка AC? Нет, давайте внимательнее. В треугольнике AMC прямая KE проходит через середину одной стороны (AM) и параллельна второй (MC). Следовательно, она пересекает третью сторону (AC) в её середине. Значит, AE=EC=1/2AC.

5. Теперь рассмотрим треугольник BCE. Нам нужно найти положение точки D на стороне EC. Прямая BD проходит через вершину B и точку D на стороне CE. Но нам известно, что точка K лежит на отрезке BD (по условию задача говорит, что прямая BK пересекает AC в D, значит B,K,D лежат на одной прямой).

6. Вернёмся к построению. Мы провели KE∥BC. Рассмотрим треугольник DBC? Нет, лучше рассмотреть треугольник BCE и секущую... Или проще использовать подобие треугольников.

Давайте изменим подход для большей ясности, используя классическое решение через параллельную к медиане или через центроид, но здесь K не центроид.

Используем метод координат или векторов? Нет, геометрическое доказательство предпочтительнее.

Проведём через точку M прямую, параллельную BD, и пусть она пересекает AC в точке F.

Рассмотрим треугольник BDF. Так как M — середина BC и MF∥BD, то по теореме Фалеса для угла C (или треугольника CBD): если провести прямую через середину одной стороны параллельно другой, она пройдёт через середину третьей. В треугольнике CBD точка M — середина CB, MF∥DB. Значит, F — середина CD. То есть CF=FD.

Теперь рассмотрим треугольник AMF. В нём точка K — середина AM (по условию). Прямая KD (часть прямой BD) параллельна MF (по построению). Значит, D — середина AF. То есть AD=DF.

Итак, у нас получились три равных отрезка на стороне AC: AD=DF и DF=FC (так как F середина CD, то DF=FC).

Следовательно, AD=DF=FC.

Так как AC=AD+DF+FC, то AC=3AD.

Отсюда следует, что AD=1/3AC.

Проверка.

Логика цепочки: M — середина BC. Построили MF∥BD. В △CBD средняя линия MF отсекает половину CD, т.е. CF=FD. В △AMF средняя линия KD (так как K середина AM и KD∥MF) отсекает половину AF, т.е. AD=DF. Объединяя, получаем AD=DF=FC. Сумма этих трёх частей составляет всю сторону AC. Доказательство корректно.