ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 526: Прямоугольник и квадрат

План доказательства.

Для того чтобы доказать, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, нам нужно воспользоваться признаками параллелограмма. Один из ключевых признаков гласит: если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, то он является параллелограммом. Также можно использовать признак: если сумма соседних углов равна 180^°, то соответствующие стороны параллельны. Мы будем опираться на свойство суммы внутренних углов выпуклого четырёхугольника и данные условия о равенстве противоположных углов.

Ход вычисления и рассуждений.

Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD. По условию задачи его противоположные углы попарно равны. Обозначим величины углов следующим образом: ∠A=α, ∠B=β, ∠C=γ, ∠D=δ Согласно условию, имеем равенства: ∠A=∠Cimpliesα=γ ∠B=∠Dimpliesβ=δ Известно, что сумма всех внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360^°. Запишем это уравнение: ∠A+∠B+∠C+∠D=360^° Подставим наши обозначения и учтём равенства из условия (γ=α и δ=β): α+β+α+β=360^° 2α+2β=360^° Разделим обе части уравнения на 2: α+β=180^° Это означает, что сумма углов ∠A и ∠B равна 180^°. Углы ∠A и ∠B являются внутренними односторонними углами при прямых AD и BC и секущей AB. Если их сумма равна 180^°, то стороны AD и BC параллельны: AD∥BC Аналогично рассмотрим сумму углов ∠A и ∠D. Так как ∠D=β, то: ∠A+∠D=α+β=180^° Углы ∠A и ∠D являются внутренними односторонними углами при прямых AB и CD и секущей AD. Следовательно, стороны AB и CD также параллельны: AB∥CD Таким образом, мы доказали, что в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны (AD∥BC и AB∥CD). По определению (или первому признаку) такой четырёхугольник является параллелограммом.

Проверка результата.

Давайте убедимся в логической целостности вывода. Мы использовали фундаментальное свойство суммы углов четырёхугольника (360^°) и условие задачи (равенство противоположных углов). Из этого следует, что сумма любых двух соседних углов равна половине общей суммы, то есть 180^°. Это классическое условие параллельности прямых. Поскольку мы получили параллельность обеих пар противоположных сторон, фигура однозначно удовлетворяет определению параллелограмма. Доказательство корректно и не требует дополнительных предположений.