ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 524: Прямоугольник и квадрат

План решения. Чтобы доказать, что фигура, образованная пересечением биссектрис углов параллелограмма, является прямоугольником, необходимо показать, что все её внутренние углы прямые. Для этого рассмотрим треугольники, которые образуются при пересечении биссектрис со сторонами параллелограмма, и воспользуемся свойством суммы углов в треугольнике и признаком параллельности сторон.

Вычисление и доказательство.

1. Пусть ABCD — данный параллелограмм, где AB∥CD и AD∥BC. Проведём биссектрисы всех четырёх углов: AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Пусть они пересекаются в точках K,L,M,N, образуя четырёхугольник KLMN.
2. Рассмотрим угол при вершине A и угол при вершине B. Так как AD∥BC, то сумма односторонних углов равна 180^°: ∠DAB+∠ABC=180^°.
3. Биссектриса делит угол пополам. Обозначим 1/2∠DAB=α и 1/2∠ABC=β. Тогда 2α+2β=180^°impliesα+β=90^°.
4. В треугольнике, образованном биссектрисами из вершин A и B и стороной AB (или их продолжениями до пересечения), два острых угла равны 1/2∠A и 1/2∠B. Третий угол этого треугольника равен 180^°-(1/2∠A+1/2∠B)=180^°-90^°=90^°.
5. Этот третий угол является вертикальным или смежным с углом четырёхугольника KLMN. Следовательно, один из углов четырёхугольника KLMN прямой.
6. Аналогично рассуждая для пар соседних углов (B и C, C и D, D и A), получаем, что остальные три угла четырёхугольника также равны 90^°.
7. Четырёхугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Проверка. Условие «смежные стороны не равны» гарантирует, что параллелограмм не является ромбом. Если бы это был ромб, биссектрисы совпали бы с диагоналями, и они перпендикулярны, но тогда фигура могла бы вырождаться или иметь другие свойства симметрии, однако для общего случая параллелограмма логика с суммой углов 180^° работает безупречно. Все четыре угла полученной фигуры равны 90^°, значит, это прямоугольник.