ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 520: Прямоугольник и квадрат

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся методом от противного и свойством суммы углов выпуклого четырёхугольника. Нам известно, что сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360^°. Утверждение «не все углы равны» означает, что хотя бы один угол отличается от остальных или что углы не образуют единого множества равных значений. Нам нужно показать, что в таком случае невозможно, чтобы все углы были прямыми или острыми (то есть меньше или равны 90^°), если они не все равны между собой как прямые. Однако более строгий подход: предположим обратное — что ни один из углов не является тупым. Это значит, что каждый угол ≤90^°.

Вычисление и логический вывод.

Пусть углы четырёхугольника обозначены как α,β,γ,δ. По условию теоремы о сумме углов: α+β+γ+δ=360^° Предположим, что ни один из углов не является тупым. Тогда для каждого угла выполняется неравенство: α≤90^°, β≤90^°, γ≤90^°, δ≤90^° Сложив эти четыре неравенства, получаем оценку для суммы углов: α+β+γ+δ≤90^°+90^°+90^°+90^°=360^° Таким образом, сумма углов может быть равна 360^° только в том случае, если во всех неравенствах достигается равенство. То есть обязательно должно выполняться: α=90^°, β=90^°, γ=90^°, δ=90^° Это означает, что если нет тупых углов, то все углы должны быть строго равны 90^°. Следовательно, все углы равны друг другу.

Проверка и заключение.

Мы пришли к выводу, что отсутствие тупых углов влечёт за собой равенство всех углов (90^°). Но по условию задачи дано, что не все углы равны друг другу. Возникает противоречие с предположением о том, что тупых углов нет. Значит, наше предположение неверно. Следовательно, хотя бы один угол должен быть больше 90^°, то есть тупым. Доказательство завершено.