ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 514: Прямоугольник и квадрат
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Екатерина Новикова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, катетом AC=12 см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина E — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
1. Изобразим ситуацию: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине C и катетами AC=BC=12 см (так как треугольник равнобедренный) расположен квадрат CDEF. Вершина C квадрата совпадает с вершиной прямого угла треугольника. Стороны CD и CF лежат на катетах CB и CA соответственно. Вершина E лежит на гипотенузе AB. 2. Обозначим сторону квадрата через x. Тогда CD=DE=EF=FC=x. 3. Используем свойства углов и подобия треугольников или координатный метод для нахождения x. 4. Вычислим периметр квадрата по формуле P=4x.
Вычисление.
Рассмотрим треугольники, образованные вне квадрата внутри большого треугольника ABC. Так как CDEF — квадрат, то его стороны параллельны катетам: DE∥AC и EF∥BC. Следовательно, угол ADE равен углу ACB=90° (как соответственные при параллельных прямых и секущей? Нет, проще рассмотреть углы). Давайте посмотрим на треугольник AEF. Так как EF∥BC, а BC⊥AC, то EF⊥AC. Значит, ∠AFE=90°. Треугольник ABC равнобедренный, поэтому острые углы при основании равны: ∠A=∠B=45°. В прямоугольном треугольнике AFE один из острых углов ∠A=45°, значит, второй острый угол ∠AEF=90°-45°=45°. Следовательно, треугольник AFE — равнобедренный, и его катеты равны: AF=FE. Так как FE — сторона квадрата, то FE=x. Значит, AF=x. Аналогично рассмотрим треугольник BDE. Сторона DE∥AC, значит, DE⊥BC, то есть ∠BDE=90°. Угол ∠B=45°, следовательно, треугольник BDE тоже равнобедренный, и BD=DE=x. Теперь выразим длину катета AC через отрезки. Катет AC состоит из отрезков AF и FC. Мы знаем, что FC — это сторона квадрата, то есть FC=x. Мы нашли, что AF=x. Значит, AC=AF+FC=x+x=2x. По условию задачи AC=12 см. Приравниваем: 2x=12 Отсюда находим сторону квадрата: x=6 см Периметр квадрата равен: P=4x=4·6=24 см
Проверка.
Если сторона квадрата равна 6 см, то отрезок AF=6 см и отрезок FC=6 см. Их сумма AC=12 см, что соответствует условию. Также проверим другой катет BC. Он состоит из отрезков BD и DC. DC=6 см (сторона квадрата), BD=6 см (из равнобедренного треугольника BDE). Сумма BC=12 см, что верно для равнобедренного треугольника. Вершина E имеет координаты (6;6), если поместить начало координат в C(0;0), ось X вдоль CB, ось Y вдоль CA. Уравнение прямой AB: y=-x+12. Подставим x=6: y=-6+12=6. Точка (6;6) лежит на прямой. Всё сходится.
24 см
Задача решается через свойства равнобедренных прямоугольных треугольников, образующихся при проведении сторон квадрата. Ключевой момент: треугольники, отсекаемые сторонами квадрата у вершин A и B, также являются равнобедренными прямоугольными, что позволяет выразить катет большого треугольника как удвоенную сторону квадрата.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 514 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 514?
Краткий ответ: 24 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 52. Прямоугольник и квадрат.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.