ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 521: Прямоугольник и квадрат

План решения:

1. Используя формулу периметра параллелограмма и известную сторону AB, найдём длину смежной стороны AD. 2. Применим свойство биссектрисы угла параллелограмма: она отсекает от противоположной стороны треугольник, который является равнобедренным. 3. Определим, какую именно сторону пересекает биссектриса (сторону BC или CD), сравнив длины сторон с полученным отрезком. 4. Вычислим длины двух частей, на которые точка пересечения делит эту сторону.

Вычисление:

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле: P=2(AB+AD) Подставим известные значения (P=46 см, AB=14 см): 46=2(14+AD) Разделим обе части уравнения на 2: 23=14+AD Найдём сторону AD: AD=23-14=9 см Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то BC=AD=9 см и CD=AB=14 см.

Рассмотрим биссектрису угла A. Пусть она пересекает сторону BC в точке K. Так как AD∥BC, то углы ∠DAK и ∠AKB являются внутренними накрест лежащими, значит, они равны: ∠DAK=∠AKB По условию AK — биссектриса угла A, поэтому: ∠DAK=∠BAK Из этих двух равенств следует, что: ∠BAK=∠AKB Значит, треугольник ABK — равнобедренный с основанием AK. Следовательно, боковые стороны равны: BK=AB=14 см

Однако мы нашли, что длина всей стороны BC равна всего 9 см. Отрезок BK не может быть больше всей стороны BC (14>9). Это означает, что биссектриса угла A не пересекает сторону BC внутри отрезка. Она должна пересекать другую сторону, прилежащую к вершине B или D? Нет, биссектриса внутреннего угла всегда лежит внутри угла. В параллелограмме биссектриса угла A пересекает ту сторону, которая противолежит углу C? Нет, она пересекает одну из сторон BC или CD. Давайте проверим пересечение со стороной CD. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону CD в точке M. Аналогично, так как AB∥CD, угол ∠BAM равен накрест лежащему углу ∠AMD (если продолжить прямую) или проще использовать свойства треугольника ADM. В треугольнике ADM: сторона AD лежит на прямой, параллельной BC. Но давайте посмотрим на треугольник, образованный биссектрисой и стороной CD. Более стандартный подход: Биссектриса угла параллелограмма отсекает от его стороны отрезок, равный смежной стороне. Если бы биссектриса пересекала BC, то BK=AB=14, но BC=9, невозможно. Значит, биссектриса пересекает сторону CD. Пусть точка пересечения — M. Рассмотрим треугольник ADM. Угол ∠DAM равен половине угла A. Так как AB∥CD, то угол ∠DMA равен углу ∠MAB (накрест лежащие). А так как AM — биссектриса, то ∠MAB=∠DAM. Следовательно, ∠DMA=∠DAM. Треугольник ADM — равнобедренный, где DM=AD. Мы нашли AD=9 см. Значит, DM=9 см. Проверим, помещается ли этот отрезок на стороне CD. Длина CD=AB=14 см. Так как 9<14, точка M действительно лежит на стороне CD.

Теперь найдём второй отрезок, на который точка M делит сторону CD. Это отрезок MC. MC=CD-DM MC=14-9=5 см

Проверка:

Стороны параллелограмма: 14 и 9. Периметр 2(14+9)=46. Верно. Биссектриса угла A отсекает от стороны CD отрезок DM, равный смежной стороне AD=9. Остаток MC=14-9=5. Сумма отрезков 9+5=14, что равно длине стороны CD. Логика непротиворечива.