ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 513: Прямоугольник и квадрат
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Мария Волкова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Для того чтобы доказать, что четырёхугольник является квадратом, нам нужно выполнить два основных шага. Во-первых, показать, что этот четырёхугольник является прямоугольником (имеет три прямых угла). Во-вторых, доказать, что у него есть пара смежных равных сторон или диагональ делит прямой угол пополам, что превращает прямоугольник в квадрат. Мы будем опираться на свойства параллельных прямых и определение биссектрисы.
Ход решения.
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C (∠C=90°). Проведём биссектрису CD прямого угла, где точка D лежит на гипотенузе AB. Через точку D проведём две прямые: одну параллельно катету AC, которая пересечёт катет BC в точке E, и другую параллельно катету BC, которая пересечёт катет AC в точке F. Таким образом, мы получили четырёхугольник CEDF.
- Докажем, что CEDF — прямоугольник.
По условию, DE∥AC и DF∥BC. Поскольку AC⊥BC (так как треугольник прямоугольный), то и соответствующие углы в четырёхугольнике будут прямыми.
Рассмотрим угол ∠DEC. Так как DE∥AC, а BC является секущей, то ∠DEC+∠ACE=180° (как односторонние углы) или проще: так как AC⊥BC, то и параллельная ей прямая DE перпендикулярна BC. Значит, ∠DEC=90°.
Аналогично, так как DF∥BC и AC⊥BC, то DF⊥AC, значит, ∠DFC=90°.
Угол ∠FCE — это исходный прямой угол треугольника, то есть ∠FCE=90°.
Четырёхугольник, у которого три угла прямые, является прямоугольником. Следовательно, CEDF — прямоугольник. - Докажем, что CEDF — квадрат.
Вспомним, что CD — биссектриса угла ∠C. Это означает, что она делит прямой угол пополам: ∠FCD=∠ECD=45°
Рассмотрим треугольник CFD. Он прямоугольный (∠CFD=90°). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Поэтому: ∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°
Так как ∠FCD=∠FDC=45°, то треугольник CFD — равнобедренный, откуда следует равенство катетов: CF=FD
Мы доказали, что CEDF — прямоугольник, у которого смежные стороны CF и FD равны. Прямоугольник с равными смежными сторонами называется квадратом.
Проверка.
Логика построения непротиворечива. Параллельность сторон гарантирует прямоугольность фигуры, а свойство биссектрисы прямого угла гарантирует, что диагональ этого прямоугольника делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника, что возможно только в случае квадрата. Утверждение доказано.
Доказано, что CEDF — квадрат.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 513 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 513?
Краткий ответ: Доказано, что CEDF — квадрат.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 52. Прямоугольник и квадрат.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.