ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 528: Прямоугольник и квадрат

План решения.

Для доказательства того, что прямые AN и MC делят диагональ BD на три равные части, обозначим точки пересечения этих прямых с диагональю как K и L. Нам нужно доказать равенство отрезков BK=KL=LD. Мы воспользуемся свойствами параллелограмма и теоремой Фалеса (или подобием треугольников), чтобы найти отношения длин этих отрезков к всей диагонали.

Вычисление и доказательство.

1. Рассмотрим треугольник BCD. Точка N — середина стороны BC, значит, BN=NC. Прямая MC проходит через вершину C и середину M противоположной стороны AD исходного параллелограмма. Однако удобнее рассмотреть пересечение прямой AN с диагональю BD. Пусть AN&capBD=K.

2. Так как ABCD — параллелограмм, то AD¶llelBC и AD=BC. По условию M и N — середины сторон, поэтому AM=MD=BN=NC=&frac12AD.

3. Рассмотрим треугольники &triangleABK и &triangleNDK? Нет, лучше использовать подобие треугольников, образованных параллельными прямыми. Прямые AD и BC параллельны. Трансверсаль BD пересекает их. Но AN соединяет вершину A со серединой N стороны BC.

4. Давайте применим метод координат или векторов для строгости, либо классическое геометрическое доказательство через подобие.

Рассмотрим &triangleAND и секущую... Лучше так: пусть AN&capBD=K. Треугольники &triangleBKN и &triangleDKA подобны по двум углам (&angleBKN=&angleDKA как вертикальные, &angleNBK=&angleADK как накрест лежащие при BC¶llelAD).

Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: k₁=&fracBNAD. Так как N — середина BC, а BC=AD, то BN=&frac12AD. Следовательно, k₁=&frac12.

Из подобия следует отношение оснований: &fracBKKD=&frac12. Это означает, что KD=2BK. Поскольку BD=BK+KD=BK+2BK=3BK, то BK=&frac13BD.

5. Теперь рассмотрим точку L=MC&capBD. Аналогично, треугольники &triangleDLM и &triangleBLC подобны (&angleDML=&angleCBL как накрест лежащие при AD¶llelBC).

Коэффициент подобия k₂=&fracDMBC. Так как M — середина AD, то DM=&frac12AD=&frac12BC. Следовательно, k₂=&frac12.

Отсюда &fracDLLB=&frac12, то есть LB=2DL. Поскольку BD=DL+LB=DL+2DL=3DL, то DL=&frac13BD.

6. Найдем длину среднего отрезка KL. Мы знаем, что BK=&frac13BD и DL=&frac13BD. Тогда длина отрезка KL=BD-BK-DL=BD-&frac13BD-&frac13BD=&frac13BD.

Проверка и вывод.

Мы получили, что BK=&frac13BD, KL=&frac13BD и LD=&frac13BD. Таким образом, BK=KL=LD. Утверждение доказано: прямые AN и MC действительно делят диагональ BD на три равные части.