ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 531: Прямоугольник и квадрат

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся методом координат или векторов, так как утверждение верно для любого треугольника и любой точки на стороне. Однако в рамках школьного курса геометрии (7–9 класс) наиболее наглядным является использование свойств средней линии треугольника и параллелограмма. Рассмотрим треугольник ABC. Пусть M — середина стороны BC, а N — середина стороны AC. Тогда отрезок MN является средней линией треугольника ABC, следовательно, MN∥AB и MN=1/2AB. Нам нужно доказать, что если взять произвольную точку K на стороне BC (противоположной вершине A), то середина отрезка AK лежит на прямой, проходящей через середины двух других сторон? Нет, условие говорит: «середина отрезка, соединяющего вершину... с любой точкой противоположной стороны». Вершина A, точка K на BC. Середина AK обозначим P. Отрезок с концами в серединах двух других сторон — это средняя линия MN, где M — середина BC, N — середина AC. Нужно доказать, что точка P лежит на отрезке MN. Давайте проверим это утверждение. Если K совпадает с B, то P — середина AB. Но середина AB не лежит на средней линии MN (которая параллельна AB). В условии есть неточность или я неверно интерпретировал «отрезок с концами в серединах двух других сторон». Перечитаем внимательно: «Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.» Пусть вершина A. Противоположная сторона BC. Точка K∈BC. Отрезок AK. Его середина P. Две другие стороны: AB и AC. Их середины: C₁ (середина AB) и B₁ (середина AC). Отрезок с концами в этих серединах — это C₁B₁. Нужно доказать, что P∈C₁B₁. Это неверно! Средняя линия C₁B₁ параллельна BC. Точка P — середина AK. Если спроектировать всё на высоту из A, то высота точки P равна половине высоты точки K (так как K на основании, высота 0? Нет, K на BC, значит расстояние от K до BC равно 0. Расстояние от A до BC равно h. Тогда расстояние от P до BC равно h/2. Расстояние от точек C₁ и B₁ до BC также равно h/2 (так как они середины боковых сторон). Значит, геометрическое место точек P при движении K по BC — это отрезок, параллельный BC и находящийся на расстоянии h/2 от него. Этот отрезок как раз и является средней линией C₁B₁. Таким образом, утверждение верно. Точка P всегда лежит на средней линии, соединяющей середины двух других сторон. Ход решения:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Пусть C₁ — середина стороны AB, а B₁ — середина стороны AC. Отрезок C₁B₁ является средней линией треугольника ABC.
2. По свойству средней линии, C₁B₁∥BC и расстояние между прямыми C₁B₁ и BC равно половине высоты треугольника ABC, опущенной из вершины A на сторону BC. Обозначим эту высоту h_a. Тогда расстояние от любой точки отрезка C₁B₁ до прямой BC равно h_a/2.
3. Возьмём произвольную точку K на стороне BC. Соединим её с вершиной A отрезком AK. Пусть P — середина отрезка AK.
4. Опустим перпендикуляры из точек A, P и K на прямую BC. Пусть основания перпендикуляров — H_A, H_P и H_K соответственно. Так как K лежит на BC, то H_K совпадает с K, и длина перпендикуляра KH_K=0. Длина перпендикуляра AH_A=h_a.
5. Рассмотрим трапецию (или вырожденный случай) AH_AH_KK. Точка P — середина диагонали AK? Нет, P — середина боковой стороны AK в прямоугольной трапеции AH_AH_KK (где AH_A∥KH_K). По теореме о средней линии трапеции, проекция середины боковой стороны на основание делит его пополам? Не совсем. Воспользуемся подобием треугольников или координатами. Проще: пусть y-координата прямой BC равна 0. Тогда y_A=h_a, y_K=0. Координата середины P отрезка AK равна y_P=y_A+y_K/2=h_a+0/2=h_a/2.
6. Мы установили, что ордината (расстояние до прямой BC) точки P равна h_a/2. Мы также знаем, что все точки средней линии C₁B₁ имеют расстояние до прямой BC, равное h_a/2, и лежат внутри угла A (проекция на BC попадает внутрь отрезка BC).
7. Осталось проверить, что проекция точки P на прямую BC попадает в границы проекции отрезка C₁B₁. Проекцией C₁ на BC является середина проекции AB, т.е. точка, делящая отрезок от проекции A до B пополам. Аналогично для B₁. При движении K от B до C, точка P движется от середины AB (точка C₁) до середины AC (точка B₁). Следовательно, точка P пробегает весь отрезок C₁B₁.

Проверка.

Если точка K совпадает с вершиной B, то отрезок AK превращается в сторону AB. Его середина P совпадает с серединой стороны AB, то есть с точкой C₁. Точка C₁ является концом отрезка C₁B₁, следовательно, она лежит на этом отрезке. Утверждение выполняется.

Если точка K совпадает с вершиной C, то отрезок AK превращается в сторону AC. Его середина P совпадает с серединой стороны AC, то есть с точкой B₁. Точка B₁ является другим концом отрезка C₁B₁, следовательно, она лежит на этом отрезке. Утверждение выполняется.

Если точка K совпадает с серединой стороны BC (обозначим её M), то P — середина медианы AM. Известно, что средняя линия C₁B₁ пересекает медиану AM в её середине. Это подтверждает общий вывод.