ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 535: Прямоугольник и квадрат

План доказательства:

Для решения задачи воспользуемся методом достраивания трапеции до треугольника. Поскольку сумма углов при одном из оснований равна 90^°, продолжение боковых сторон до пересечения образует прямоугольный треугольник. Далее применим свойство медианы, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, и свойства средней линии.

Ход решения:

1. Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Пусть M — середина большего основания AD, а N — середина меньшего основания BC. Требуется доказать, что MN=AD-BC/2.
2. Продолжим боковые стороны AB и DC до пересечения в точке K. По условию, сумма углов при основании AD равна 90^°, то есть ∠A+∠D=90^°. Следовательно, в треугольнике AKD угол при вершине K равен: ∠K=180^°-(∠A+∠D)=180^°-90^°=90^°. Таким образом, △AKD — прямоугольный с гипотенузой AD.
3. Так как BC∥AD, то треугольник KBC также является прямоугольным (∠K=90^°) с гипотенузой BC.
4. Рассмотрим отрезок KM. В прямоугольном треугольнике AKD отрезок KM соединяет вершину прямого угла K с серединой гипотенузы M. По известному свойству, медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине этой гипотенузы: KM=1/2AD.
5. Аналогично, рассмотрим отрезок KN. В прямоугольном треугольнике KBC отрезок KN является медианой, проведенной к гипотенузе BC. Следовательно: KN=1/2BC.
6. Точки K,N,M лежат на одной прямой. Это следует из того, что N лежит на средней линии или можно обосновать через подобие треугольников и симметрию относительно высоты, опущенной из K. Более строго: так как △KBC∼△KAD и N,M — середины соответствующих сторон, то лучи KN и KM совпадают (так как они являются биссектрисами прямых углов? Нет, это неверно для произвольных прямоугольных треугольников).
   Давайте уточним геометрическое расположение. Точка K — вершина общего прямого угла. N — середина гипотенузы малого треугольника, M — середина гипотенузы большого. Отрезки KN и KM лежат на одной прямой, проходящей через вершину K, только если треугольники равнобедренные. В общем случае это не так.
   Корректировка метода: Проведем через точку N прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке P, и параллельную CD до пересечения с AD в точке Q. Этот путь сложен.
   Вернемся к классическому способу с использованием векторов или координат, либо достроением до параллелограмма.
   Самый надежный школьный метод для этого конкретного условия (сумма углов 90^°):
   Проведем через середину N верхнего основания BC прямые, параллельные боковым сторонам AB и CD, до пересечения с нижним основанием AD в точках E и F соответственно.
   Тогда ABNE и CDFN — параллелограммы (так как BC∥AD). Значит, AE=BN=1/2BC и FD=CN=1/2BC.
   Отрезок EF на основании AD равен AD-AE-FD=AD-1/2BC-1/2BC=AD-BC.
   Треугольник ENF: стороны EN∥AB, FN∥CD. Угол ∠ENF равен углу между прямыми AB и CD, то есть ∠K=90^°. Значит, △ENF — прямоугольный с гипотенузой EF.
   Точка M — середина AD. Найдем положение M относительно E и F.
   AM=1/2AD.
   AE=1/2BC.
   Расстояние от A до середины отрезка EF (обозначим ее O′):
   Координата E равна 1/2BC. Координата F равна AD-1/2BC.
   Середина EF имеет координату 1/2BC+AD-1/2BC/2=AD/2.
   Это значит, что середина отрезка EF совпадает с точкой M!
   В прямоугольном треугольнике ENF отрезок NM является медианой, проведенной к гипотенузе EF.
   Поэтому NM=1/2EF.
7. Подставим найденное значение EF: NM=1/2(AD-BC)=AD-BC/2.

Проверка:

Если трапеция вырождается в треугольник (BC=0), то N совпадает с K, а M — с серединой AD. Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. Формула дает AD-0/2, что верно. Если трапеция становится прямоугольником (углы по 45^°?), нет, условие про сумму углов 90^° специфично. Для равнобедренной трапеции с углами 45^° и 45^° при основании, высота равна полуразности оснований. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен высоте. Формула работает.