ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 539: Прямоугольник и квадрат

План решения.

Чтобы найти центры симметрии фигуры, состоящей из двух параллельных прямых, нужно рассмотреть все возможные точки на плоскости и проверить, переходит ли фигура в себя при центральной симметрии относительно этих точек. Центральная симметрия с центром O отображает любую точку A в точку A′ так, что O является серединой отрезка AA′. Для пары параллельных прямых важно понять, какие точки могут служить «зеркалом» для обеих прямых одновременно.

Вычисление и рассуждение.

Пусть даны две различные параллельные прямые a и b. Рассмотрим произвольную точку O, лежащую на прямой, равноудаленной от a и b (средняя линия между ними). При центральной симметрии относительно такой точки O прямая a перейдет в прямую, параллельную ей. Чтобы эта новая прямая совпала с исходной прямой b, точка O должна быть расположена строго посередине между прямыми a и b. Если взять любую другую точку на этой средней линии, то симметрия относительно неё переведёт прямую a в саму себя только если она лежит на самой прямой a (что невозможно для различных параллельных) или же переведёт a в некоторую третью прямую. Однако, ключевое свойство: центральная симметрия сохраняет направление прямых. Прямая a перейдёт в прямую a′, параллельную a. Чтобы фигура a,b перешла в себя, множество a′,b′ должно совпасть с a,b. Это возможно в двух случаях:

1. a′=a и b′=b. Это означает, что центр симметрии лежит на самих прямых. Но если центр лежит на одной прямой, он не может лежать на другой (так как они параллельны и различны), а значит, вторая прямая сместится. Следовательно, этот случай невозможен для пары различных параллельных прямых.
2. a′=b и b′=a. Это означает, что прямые меняются местами. Центр симметрии должен находиться ровно посередине между прямыми a и b. Любая точка, лежащая на прямой c, которая проходит через середину расстояния между a и b и параллельна им, обладает этим свойством? Нет. Проверим конкретную точку. Пусть расстояние между прямыми равно 2h. Поместим начало координат в точку M — середину общего перпендикуляра к прямым. Тогда уравнения прямых: y=h и y=-h. Возьмем центр симметрии O(x_0,y₀). Точка (x,h) на прямой a перейдет в точку (2x₀-x,2y₀-h). Чтобы эта точка лежала на прямой b (y=-h), необходимо 2y₀-h=-h→2y₀=0→y₀=0. То есть центр должен лежать на оси X (прямой y=0). Теперь проверим обратное: возьмем точку (x,-h) на прямой b. Она перейдет в (2x₀-x,2(0)-(-h))=(2x₀-x,h), что лежит на прямой a. Таким образом, любая точка с координатами (x_0,0) является центром симметрии, переводящим пару a,b в себя (меняя прямые местами).

Следовательно, центрами симметрии являются все точки, лежащие на прямой, проходящей посередине между данными параллельными прямыми и параллельной им.

Проверка.

Возьмем две горизонтальные прямые y=1 и y=-1. Средняя линия — ось X (y=0). Выберем точку O(5;0). Симметрия относительно O: точка (2;1) на верхней прямой переходит в (25-2;20-1)=(8;-1), что лежит на нижней прямой. Точка (3;-1) на нижней прямой переходит в (7;1), что лежит на верхней. Фигура совпадает с собой. Так как выбор x₀ был произвольным, таких точек бесконечно много.