ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 540: Прямоугольник и квадрат

План доказательства:

Чтобы доказать утверждение, нужно показать, что любая точка фигуры переходит в точку той же самой фигуры при повороте на 180^° вокруг точки пересечения осей симметрии. Мы воспользуемся свойством композиции двух осевых симметрий относительно взаимно перпендикулярных прямых: такая композиция эквивалентна центральной симметрии относительно точки их пересечения.

Ход решения:

Пусть дана фигура F, имеющая две оси симметрии l₁ и l₂, которые пересекаются в точке O под углом 90^°. Возьмём произвольную точку A, принадлежащую фигуре F.

1. Так как l₁ — ось симметрии фигуры F, то отражение точки A относительно прямой l₁ даёт точку A′, которая также принадлежит фигуре F. Обозначим эту операцию как S_l1(A)=A′.
2. Теперь отразим полученную точку A′ относительно второй оси симметрии l₂. Так как l₂ — ось симметрии фигуры F, а A′∈F, то образ точки A′ при отражении относительно l₂, обозначим его A′′, также будет принадлежать фигуре F. То есть S_l2(A′)=A′′, где A′′∈F.
3. Рассмотрим геометрическое положение точек A,A′,A′′ относительно центра O. Отражение относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через одну точку, равносильно повороту вокруг этой точки на удвоенный угол между осями. Угол между l₁ и l₂ равен 90^°, следовательно, суммарное преобразование (композиция S_l2°S_l1) является поворотом на 2·90^°=180^° вокруг точки O.
4. Поворот на 180^° вокруг точки O переводит любую точку X в точку Y так, что O является серединой отрезка XY. Это определение центральной симметрии с центром в точке O. Таким образом, точка A′′ симметрична точке A относительно центра O.

Мы показали, что для произвольной точки A∈F её образ A′′ при центральной симметрии относительно O также принадлежит F. Следовательно, фигура F имеет центр симметрии в точке O.

Проверка:

Вспомним примеры таких фигур. Прямоугольник имеет две оси симметрии (прямые, соединяющие середины противоположных сторон), они перпендикулярны и пересекаются в центре прямоугольника. Центр прямоугольника действительно является центром симметрии. Квадрат имеет четыре оси симметрии, но если взять любые две взаимно перпендикулярные (например, диагонали или средние линии), их пересечение — центр квадрата, который также является центром симметрии. Логика верна.